写在前面

自己整理，难免错漏，欢迎向作者指出。
笔者仅供个人学习思路，不一定最优，望各位根据自身情况灵活选择。
大学物理中积分应用广泛，请务必亲自推导，以加深理解。
愿各位学有所成！

一、力学和相对论

(一)、质点运动学

1. 矢量

在运动学中，我们用矢量（Vector）来同时描述大小和方向。大学里常用三个单位矢量$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$来表示空间三个正交方向。下面先从基本概念和表示法说起。

1.1 矢量的定义与表示

矢量：既有大小，又有方向的量。记作粗体或带箭头的符号，如$\mathbf{A}$$或$$\vec A$。在本讲义中，矢量会使用粗体表示。
标量：只有大小、没有方向的量，如质量$m$$、时间$$t$$、温度$$T$等。

例位移$\mathbf{s}$、速度$\mathbf{v}$、加速度$\mathbf{a}$都是矢量；
而路程$s$、速率$v$则是对应的标量。

1.1.1 分量表示

在直角坐标系中，任意矢量$\mathbf{A}$都可以写成三分量形式：

$$ \mathbf{A} = A_x\,\mathbf{i} \;+\; A_y\,\mathbf{j} \;+\; A_z\,\mathbf{k} $$

其中

$A_x,A_y,A_z$ 是在$x,y,z$方向上的分量；
$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 分别是$x,y,z$方向的单位矢量，满足
$$ \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=1,\quad \mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0,\quad \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k},\quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i},\quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j} $$

1.1.2 大小与单位矢量

矢量的大小（模）
$$ |\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\, $$
单位矢量：沿$\mathbf{A}$方向、模长为1的矢量
$$ \hat{\mathbf A} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} = \frac{A_x\,\mathbf{i} + A_y\,\mathbf{j} + A_z\,\mathbf{k}} {\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} $$

1.2 矢量运算

下面列出常用的几种矢量运算及其物理意义。

运算	符号	定义	物理意义
加法／减法	$\mathbf{A}\pm\mathbf{B}$	$(A_x\pm B_x)\mathbf{i} + (A_y\pm B_y)\mathbf{j} + (A_z\pm B_z)\mathbf{k}$	合成／分解矢量
标量乘法	$c\,\mathbf{A}$	$(cA_x)\mathbf{i} + (cA_y)\mathbf{j} + (cA_z)\mathbf{k}$	改变大小（也可能反转方向）
点积	$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$	$A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$	求投影、做功 $W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$
叉积	$\mathbf{A}\times\mathbf{B}$	$\displaystyle\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$	求法向量、力矩 $\boldsymbol\tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$

1.3 示例

合成合力
两个力 $\mathbf{F}_1 = (3,2,0)\,\mathrm{N}$、$\mathbf{F}_2 = (1,-1,0)\,\mathrm{N}$ 的合力为：

$$ \mathbf{F}_{\rm net} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 = (3+1)\mathbf{i}\,\mathrm{N} + (2 - 1)\mathbf{j}\,\mathrm{N} = 4\,\mathbf{i}\,\mathrm{N} + \mathbf{j}\,\mathrm{N} $$

计算做功
力 $\mathbf{F} = (5, 0, 0)\,\mathrm{N}$ 沿位移 $\mathbf{s} = (2, 3, 0)\,\mathrm{m}$ 做功：
$$ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} = 5 \cdot 2\,\mathrm{J} + 0 \cdot 3\,\mathrm{J} = 10\,\mathrm{J} $$
计算力矩
位置矢量 $\mathbf{r} = (0, 1, 0)\,\mathrm{m}$，力 $\mathbf{F} = (4, 0, 0)\,\mathrm{N}$：
$$ \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} \,\mathrm{N \cdot m} = -4\,\mathbf{k} \,\mathrm{N \cdot m} $$

2.参考系和坐标系

2.1 参考系

参考系是研究物理过程的观察系统，由基点、坐标轴 和时钟三部分构成，可分为惯性参考系与非惯性参考系，在引出牛顿定律后会详细展开。

2.2 直角坐标系

选取互相垂直的 $x$、$y$ 轴，以原点 $O$ 为基点，单位向量分别记作 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$

位置矢量：
$$ \mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} $$
速度：
$$ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{x}\,\mathbf{i} + \dot{y}\,\mathbf{j} $$
加速度：
$$ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \ddot{x}\,\mathbf{i} + \ddot{y}\,\mathbf{j} $$

2.3 平面极坐标系

以原点 $O$ 为极点，选定一条射线为极轴。坐标用 $(r(t),\theta(t))$ 表示，单位向量为径向 $\mathbf{e}_r$ 和切向 $\mathbf{e}_\theta$，满足

$$ \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta,\quad \frac{d\mathbf{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\,\mathbf{e}_r $$

位置矢量：
$$ \mathbf{r} = r\,\mathbf{e}_r $$
速度：
$$ \begin{aligned} \mathbf{v} &= \frac{d}{dt}\bigl(r\,\mathbf{e}_r\bigr) \\[4pt] &= \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\frac{d\mathbf{e}_r}{dt} \\[4pt] &= \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta \end{aligned} $$
加速度：

$$ \begin{aligned} \mathbf{a} &= \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta\bigr) \\[4pt] &= \underbrace{\bigl(\ddot{r} - r\,\dot{\theta}^2\bigr)\mathbf{e}_r}_{\text{径向}} + \underbrace{\bigl(2\,\dot{r}\,\dot{\theta} + r\,\ddot{\theta}\bigr)\mathbf{e}_\theta}_{\text{切向}} \end{aligned} $$

2.4 自然坐标系

沿质点运动轨迹定义单位切向量 $\mathbf{e}_t$（方向与运动方向相同）和单位法向量 $\mathbf{e}_n$（指向曲率中心）。以轨迹弧长 $s(t)$ 参数化，速率 $v=\dot{s}$，曲率半径 $\rho$，曲率 $\kappa=1/\rho$。

速度：
$$ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{ds}{dt}\,\mathbf{e}_t = v\,\mathbf{e}_t $$
加速度：
$$ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\,(v\,\mathbf{e}_t)}{dt} = \dot{v}\,\mathbf{e}_t + v\,\frac{d\mathbf{e}_t}{dt} $$$$ \frac{d\mathbf{e}_t}{dt} = \frac{ds}{dt}\,\frac{d\mathbf{e}_t}{ds} = v\,\kappa\,\mathbf{e}_n $$
因此
$$ \mathbf{a} = \dot{v}\,\mathbf{e}_t + v\,(v\,\kappa)\,\mathbf{e}_n = \dot{v}\,\mathbf{e}_t + \frac{v^2}{\rho}\,\mathbf{e}_n $$

3.质点运动的矢量表示

3.1 运动学中用到的矢量

位移矢量
初始时刻位置$\mathbf{r}_0$，任意时刻位置$\mathbf{r}(t)$，位移
$$ \Delta\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}_0 $$
速度矢量
瞬时速度定义为位置对时间的导数
$$ \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} $$
加速度矢量
瞬时加速度定义为速度对时间的导数
$$ \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} =\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2} $$

3.2 用积分推导高中的公式

高中阶段，我们借助面积法来辅助理解并背诵匀加速运动公式；进入大学后，凭借微积分知识，能够从基本原理出发对其进行严密推导。推导过程至关重要——一旦遇到变加速度运动，也能灵活地运用微积分方法加以处理。

条件假设：一维直线运动，加速度$a$为常数，初时刻$t=0$时位置$x(0)=x_0$、速度$v(0)=v_0$

3.2.1 速度–时间关系

由定义$a=\frac{dv}{dt}$：

$$ a\ dt=dv $$

对等式两边积分：

$$ \int_{v_0}^{v(t)}\!dv \;=\;\int_{0}^{t}\!a\,dt \quad\Longrightarrow\quad v(t)-v_0 = a\,t $$

故得

$$ \boxed{\,v(t)=v_0 + a\,t\,} $$

3.2.2 位移–时间关系

由$v=\frac{dx}{dt}$：

$$ v\,dt = dx $$$$ \int v\,dt = \int dx $$

将$v=v_0 + a\,t$代入并积分：

$$ \int_{x_0}^{x(t)}\!dx \;=\;\int_{0}^{t}\!(v_0 + a\,t)\,dt = v_0\,t + \frac12\,a\,t^2 $$

故得

$$ \boxed{\,x(t)=x_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2\,} $$

3.2.3 速度–位移关系

注意对链式法则的应用：

$$ v = \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dv}\cdot\frac{dv}{dt} = a\,\frac{dx}{dv} $$$$ v\,dv = a\,dx $$$$ \int v\,dv = \int a\,dx $$

对等式两边积分：

$$ \int_{v_0}^{v}\!v\,dv \;=\; a\int_{x_0}^{x}\!dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2-v_0^2}{2} = a\,(x-x_0) $$

整理得

$$ \boxed{\,v^2 = v_0^2 + 2\,a\,(x - x_0)\,} $$

3.3 抛体运动

运动方程及特性

假设：不计空气阻力，重力加速度 $g=9.8\rm\ m/s^2$。
水平运动（匀速）
$$ v_x = v_0\cos\theta,\quad x = v_0\cos\theta\;t $$
竖直运动（匀加速）
$$ v_y = v_0\sin\theta - g\,t,\quad y = v_0\sin\theta\;t - \tfrac12\,g\,t^2 $$
飞行时间
$$ t_{\rm total}=\frac{2v_0\sin\theta}{g} $$
射程
$$ R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} $$
最大高度
$$ H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} $$

例

已知：$v_0=20\rm\ m/s,\ \theta=30^\circ$

飞行时间
$$ t_{\rm total} = \frac{2\times20\rm\ m/s\times\sin30^\circ}{9.8\rm\ m/s^2} \approx 2.04\rm\ s $$
射程
$$ R = \frac{(20\rm\ m/s)^2\times\sin60^\circ}{9.8\rm\ m/s^2} \approx 35.35\rm\ m $$
最大高度
$$ H = \frac{(20\rm\ m/s)^2\times(\sin30^\circ)^2}{2\times9.8\rm\ m/s^2} \approx 5.10\rm\ m $$

4.相对运动与伽利略变换

在经典力学中，不同参考系之间观察到的运动量可以通过伽利略变换来相互转换。通常我们有一个“基本参考系”（惯性系）$O$，和一个以恒定速度$\mathbf{u}$相对基本参考系运动的“运动参考系”$O'$。

4.1 坐标和时间的变换

设在基本参考系中，一个事件的时空坐标是
$$ (t,\;x,\;y,\;z) $$
在以速度$\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$沿各轴平移的参考系$O'$中，同一事件的坐标是
$$ \bigl(t',\;x',\;y',\;z'\bigr) $$

伽利略变换公式（假设两系出发时刻重合、原点重合）为：

$$ \begin{cases} t' = t\\[6pt] x' = x - u_x\,t\\ y' = y - u_y\,t\\ z' = z - u_z\,t \end{cases} $$

时间不变：$t'=t$。
空间坐标按运动参考系的位移修正。

4.2 速度和加速度的变换

速度变换
对坐标变换两边对时间求导：
$$ v'_x = \frac{dx'}{dt'} = \frac{dx}{dt} - u_x \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}' = \mathbf{v} - \mathbf{u} $$
即：在运动参考系中看到的速度，是在基本参考系中速度减去参考系本身的速度。
加速度不变
继续对速度变换对时间求导：
$$ a'_x = \frac{dv'_x}{dt} = \frac{dv_x}{dt} - 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{a}' = \mathbf{a} $$
因为$\mathbf{u}$是常向量，对时间求导为零，所以加速度在惯性参考系之间保持不变。

4.3 典例

火车与车厢
一人在静止的站台上以每秒$5$ m/s速度向东跑；若此时他在一列以$10$ m/s向东行驶的火车车厢中，那么：
- 对于站台上的人，跑者速度是 $+5$ m/s；
- 对于车厢中的观察者，跑者速度是 $5 - 10 = -5$ m/s（即相对于车厢向西跑）。
- 两者测得的“加速度”是一致的（若跑者匀速）。
抛体运动的不同参考系
如果从地面看，一个抛出的球垂直上抛；若在迎风飞行的飞机上同样观察（飞机速度为$\mathbf{u}$），飞机上观察者会认为球既有竖直上抛的分量，也带有与飞机相同的水平速度分量。两种参考系中通过伽利略变换得到相同的重力加速度作用。

(二)、动量守恒与质点动力学

1.惯性与动量

1.1 牛顿第一定律

1.1.1 表述

任何物体在不受外力作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种状态为止‌。‌‌

1.1.2 要点

“外力”指所有作用在物体上的外力矢量和；
若合外力为零，物体的速度大小与方向都不发生变化。

1.1.3 物理意义

说明力的本质是改变运动状态，而非维持运动；
摩擦力、空气阻力等都是外力，若要维持匀速运动，必须用持续的力去抵消它们。

1.2 惯性质量

惯性质量 $m$ 是衡量物体“惯性大小”的物理量，代表物体抵抗运动状态改变（加速或减速）的能力。

在已知力 $F$ 作用下，物体产生加速度 $a$，则

$$ m = \frac{F}{a}\, $$

国际单位制中，质量的单位是千克（kg）。

惯性质量 vs. 引力质量：

惯性质量：出现在牛顿第二定律 $F = m\,a$
引力质量：出现在万有引力定律 $F = G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}$
实验表明两者数值相等，但物理含义不同。

1.3 动量

线性动量 $\mathbf{p}$ 定义为：

$$ \mathbf{p} = m\,\mathbf{v} $$

其中 $m$ 为惯性质量，$\mathbf{v}$ 为速度矢量。

2. 牛顿运动定律与动量定理

2.1 牛顿第二定律

2.1.1 通用形式

$$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}\,,\qquad \mathbf{p}=m\,\mathbf{v}\, $$

作用在系统上的合外力，等于该系统动量的变化率。

2.1.2 质量恒定时的简化

当质量 $m$ 保持不变（$\dot m=0$）时，

$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} =\frac{d}{dt}(m\,\mathbf{v}) =m\,\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\,\mathbf{a} $$

因此可写为

$$ \mathbf{F} = m\,\mathbf{a}\, $$

也就是我们在高中阶段熟悉的牛顿第二定律。

2.1.3 要点

力的本质：合外力决定了系统动量的增减速度；
方向关系：加速度 $\mathbf a$ 与合外力 $\mathbf F$ 同向；
大小关系：在同一力作用下，质量越大，加速度越小。

2.1.4 变质量系统

对于质量可变的系统（如喷气火箭、漏水容器），

$$ \mathbf{F} = \frac{d}{dt}(m\,\mathbf{v}) = m\,\mathbf{a} + \mathbf{v}\,\frac{dm}{dt} $$

此时，除了 $m\,\mathbf{a}$ 项外，还需考虑 $\mathbf v\,\frac{dm}{dt}$

2.1.5 物理意义

力的本质：力是改变物体运动状态（速度大小或方向）的原因；
方向关系：加速度 $\mathbf{a}$ 的方向与合外力 $\mathbf{F}$ 的方向相同；
大小关系：在同样的外力作用下，质量越大，加速度越小。

2.1.6 例题

质量 $2\rm\ kg$ 的小车在水平面上受合力 $10\rm\ N$，求其加速度：
$$ a = \frac{F}{m} = \frac{10}{2} = 5\rm\ m/s^2\, $$

2.2 冲量与动量定理

2.2.1 冲量定义

冲量 $I$ 定义为力对时间的积分：

$$ I = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt\, $$

2.2.2 动量定理

冲量等于动量的变化：

$$ I = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1\, $$

即

$$ \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1\, $$

2.2.3 要点

瞬时冲击：在极短时间内的巨大力，可使动量突然改变；
平均力：若用平均力 $\bar{F}$ 近似，则
$$ I = \bar{F}\,(t_2 - t_1)\, $$

2.2.4 物理意义

冲量–动量关系将“力×时间”与“质量×速度变化”直接联系起来；
在碰撞、爆炸等过程分析中，往往用动量定理比直接用牛二定律更方便。

2.2.5 例题

例1：弹簧碰撞

质量为 $m$ 的小球以初速度 $v_1$（取向右为正）撞击一端固定的弹簧后反弹，离开弹簧时速度大小为 $v_2$（数值为正，方向向左）。已知碰撞持续时间为 $\Delta t$。
求：小球在碰撞过程中的平均力 $\bar F$。

已知

$$ m = 0.5\rm\ kg,\quad v_1 = 3.0\rm\ m/s,\quad v_2 = 2.0\rm\ m/s,\quad \Delta t = 0.08\rm\ s $$

解

取撞击前向右为正，则反弹后速度为

$$ v_{2} = -\,2.0\rm\ m/s $$$$ \Delta p = m\,v_{2} - m\,v_{1} = -2.5\ \rm kg\cdot m/s $$$$ \bar F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = -31.25\ \rm N $$

负号表示平均力方向向左

例2：台球碰撞

在水平且无摩擦的台球桌上，质量均为 $m$ 的两台球 A、B 相撞。碰撞前 A 球以速度 $v_{A1}$（正方向）运动，B 球静止；碰撞后 A、B 球速度分别为 $v_{A2}$、$v_{B2}$。
求：

A 球受到的冲量 $I_A$；
B 球受到的冲量 $I_B$；
已知

$$ m = 0.16\rm\ kg,\quad v_{A1} = 1.2\rm\ m/s,\; v_{B1}=0,\; v_{A2} = 0.5\rm\ m/s,\; v_{B2} = 0.8\rm\ m/s $$

解

$$ I_A = m\,v_{A2} - m\,v_{A1} = -0.112\ \rm kg\cdot m/s $$

$$ I_B = m\,v_{B2} - m\,v_{B1} = 0.128\ \rm kg\cdot m/s $$

2.3 牛顿第三定律

2.3.1 定律表述

相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

$$ \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\, $$

2.3.2 要点

作用力与反作用力同时出现、同时消失；
它们不在同一物体上，所以不会相互抵消。

2.3.3 物理意义

强调力的相互性：一切力都是相互作用的表现；
保证系统内力成对出现，系统总内力对质心运动没有贡献。

2.3.4 应用场景

碰撞分析：两物体相撞时，内力对系统总动量无影响；
张力问题：绳两端的张力大小相等；
推动与反冲：如手推墙，墙对手的反作用力使手感到压力。

3 惯性系与非惯性系

3.1 惯性参考系

3.1.1 定义

在该参考系中，若合外力为零，则质点保持静止或做匀速直线运动（牛顿第一定律成立）

3.1.2 特性

任何两个惯性系之间互相以恒定速度运动
牛顿第二、第三定律在所有惯性系中形式相同

3.1.3 示例

在地面附近的空间，忽略地球自转影响时可看作是惯性系
做匀速直线运动的火车车厢内部

3.2 非惯性参考系

3.2.1 定义

相对于惯性系具有加速度（平动或转动）的参考系

3.2.2 非惯性参考系中的惯性力

在具有平动加速度 $\mathbf a_{\rm 系}$ 以及绕固定轴以恒定角速度 $\boldsymbol\omega$ 旋转的参考系中，为使牛顿第二定律形式不变，需要引入三种惯性力：

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 实际}+ \mathbf F_{\rm 平移}+ \mathbf F_{\rm 科里奥利}+ \mathbf F_{\rm 离心} $$

(1) 平动惯性力

坐标变换
设惯性系 $S$ 中的位置为 $\mathbf r$，非惯性系 $S'$ 中的位置为 $\mathbf r'$，$S'$ 系的原点在惯性系 $S$ 中的位置为 $\mathbf R_{\rm 系}(t)$，则

$$ \mathbf r = \mathbf r' + \mathbf R_{\rm 系}(t) $$

加速度变换
在 $S$ 中

$$ \mathbf a = \frac{d^2\mathbf r}{dt^2}\Big|_S = \frac{d^2\mathbf r'}{dt^2}\Big|_{S'} + \frac{d^2\mathbf R_{\rm 系}}{dt^2} = \mathbf a' + \mathbf a_{\rm 系} $$

牛顿第二定律
在惯性系中： $m\,\mathbf a = \mathbf F_{\rm 真}$

又因为

$$ \mathbf a = \mathbf a' + \mathbf a_{\rm 系} $$$$ m\,\mathbf a'= m\,\mathbf a' + m\,\mathbf a_{\rm 系} $$

代入并移项得

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 真} - m\,\mathbf a_{\rm 系} = \mathbf F_{\rm 真} + \underbrace{\bigl(-m\,\mathbf a_{\rm 系}\bigr)}_{\mathbf F_{\rm 平移}} $$

结果

$$ \boxed{\mathbf F_{\rm 平移} = -\,m\,\mathbf a_{\rm 系}} $$

(2) 科里奥利力与离心力（旋转参考系）

坐标变换
设惯性系 $S$ 与绕固定轴以角速度 $\boldsymbol\omega$ 旋转的非惯性系 $S'$ 原点重合，质点位置向量在两系中均为

$$ \mathbf r = \mathbf r' $$

速度变换
在 $S$ 系中

$$ \mathbf v = \frac{d\mathbf r}{dt}\Big|_S = \frac{d\mathbf r'}{dt}\Big|_{S'} + \boldsymbol\omega\times\mathbf r' = \mathbf v' + \boldsymbol\omega\times\mathbf r' $$

其中 $\mathbf v'=\dfrac{d\mathbf r'}{dt}\big|_{S'}$ 是在旋转系 $S'$ 中的速度

加速度变换
在 $S$ 系中

$$ \begin{aligned} \mathbf a &= \frac{d}{dt}\bigl(\mathbf v' + \boldsymbol\omega\times\mathbf r'\bigr)\Big|_S \\[4pt] &= \underbrace{\frac{d\mathbf v'}{dt}\Big|_{S'}}_{\mathbf a'} + \underbrace{\boldsymbol\omega\times\frac{d\mathbf r'}{dt}\Big|_{S'}}_{\boldsymbol\omega\times\mathbf v'} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r') \\[4pt] &= \mathbf a' + 2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v' + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r') \end{aligned} $$

牛顿第二定律（旋转系）
在 $S$ 系中

$$ m\,\mathbf a = \mathbf F_{\rm 真} $$

代入上式并移项得

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 真} - m\bigl(2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v' + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')\bigr) $$

定义惯性力
将后两项定义为惯性力 $\mathbf F_{\rm 惯}$，分解为：

科里奥利力
$$ \boxed{\mathbf F_{\rm 科里奥利} = -2\,m\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v'} $$
离心力
$$ \boxed{\mathbf F_{\rm 离心} = -m\,\bigl[\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')\bigr] = m\,\omega^2\,\mathbf r'_\perp} $$

最终在旋转参考系中可写为：

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 真} + \mathbf F_{\rm 科里奥利} + \mathbf F_{\rm 离心} $$

(3) 合成形式

结合平动与转动两种情形，在同时含 $\mathbf a_{\rm 系}$ 和 $\boldsymbol\omega$ 的非惯性系中，

$$ \boxed{ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 实际} + \mathbf F_{\rm 平移} + \mathbf F_{\rm 科里奥利} + \mathbf F_{\rm 离心} } $$

4. 质点系动量守恒

4.1 质点系动量定理

4.1.1 表述

系统由 $N$ 个质点组成，则总动量为：

$$ \mathbf P = \sum_{i=1}^N \mathbf p_i = \sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf v_i $$

动量定理：

$$ \frac{d\mathbf P}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf v_i\Bigr) = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} $$

4.1.2 推导

对第 $i$ 个质点
$$ \frac{d}{dt}(m_i\,\mathbf v_i) = \mathbf F_{i,\rm ext}+ \sum_{j\neq i}\mathbf F_{ij} $$
对 $i=1$ 到 $N$ 求和
$$ \sum_{i=1}^N \frac{d}{dt}(m_i\,\mathbf v_i) = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} + \sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}\mathbf F_{ij} $$
由牛三定律 $\mathbf F_{ij}=-\mathbf F_{ji}$，内力之和为零
$$ \sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}\mathbf F_{ij} = 0 $$
故
$$ \frac{d\mathbf P}{dt} = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} $$

4.1.3 物理意义

外力的矢量和决定系统总动量的变化率

4.2 质心运动方程

4.2.1 质心的定义

总质量为

$$ M = \sum_{i=1}^N m_i $$

则质心位置为

$$ \mathbf R = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf r_i $$

4.2.2 质心相关定理推导

质心速度
$$ \frac{d\mathbf R}{dt} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf v_i = \frac{\mathbf P}{M} $$
质心加速度
$$ \frac{d^2\mathbf R}{dt^2} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf a_i $$
根据质点系动量定理 $\sum_i m_i\,\mathbf a_i = \sum_i\mathbf F_{i,\rm ext}$，得
$$ M\,\frac{d^2\mathbf R}{dt^2} = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} $$

4.2.3 应用

系统质心同质点受合外力作用一样，也有运动方程

$$ M\,\mathbf a_{\rm cm} = \mathbf F_{\rm tot,\,ext} $$

4.3 动量守恒

4.3.1 孤立系统

若 $\sum_{i}\mathbf F_{i,\rm ext}=0$，则

$$ \frac{d\mathbf P}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf P=\text{常量} $$

4.3.2 矢量分量守恒

$$ P_x = \sum_i m_i v_{i,x} = \text{常量} $$

$$ P_y = \sum_i m_i v_{i,y} = \text{常量} $$

$$ P_z = \sum_i m_i v_{i,z} = \text{常量} $$

4.3.3 应用示例

弹性碰撞
$$ m_1v_{1,i}+m_2v_{2,i} = m_1v_{1,f}+m_2v_{2,f} $$$$ \tfrac12m_1v_{1,i}^2+\tfrac12m_2v_{2,i}^2 = \tfrac12m_1v_{1,f}^2+\tfrac12m_2v_{2,f}^2 $$
非弹性碰撞
$$ m_1v_{1,i}+m_2v_{2,i} = m_1v_{1,f}+m_2v_{2,f} $$
反冲（枪—子弹系统）
初动量为零，发射后
$$ m_{\rm 子弹}v_{\rm 子弹} + m_{\rm 枪}v_{\rm 枪} = 0 $$

4.4 火箭运动

4.4.1 火箭方程的动量推导

假设

火箭当前质量 $m$
火箭速度 $v$
喷气速度（相对于火箭后方向） $v_r$
在极短时间 $dt$ 内，火箭质量减小 $-dm$（$dm<0$），速度增量 $dv$

喷气前后系统（火箭＋微量喷气）总动量相等:

$$ m\,v = (m + dm)(v + dv)+(-dm)\,(v - v_r) $$

展开右端
$$ (m + dm)(v + dv) = m\,v + m\,dv + v\,dm + dm\,dv $$
总动量方程
$$ m\,v = m\,v + m\,dv + v\,dm + dm\,dv +(-dm)\,(v - v_r) $$
合并并舍去二阶小量 $dm\,dv$
$$ m\,v = m\,v + m\,dv + v\,dm - v\,dm + v_r\,dm = m\,v + m\,dv + v_r\,dm $$

两边同时减去 $m\,v$

$$ 0 = m\,dv + v_r\,dm \quad\Longrightarrow\quad m\,dv = -\,v_r\,dm $$

4.4.2 理想火箭方程

两边积分，从初始质量 $m_0$ 到末质量 $m_f$，速度从 $v_0$ 到 $v_f$

$$ \int_{v_0}^{v_f} dv = -\,v_r \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} \;\Longrightarrow\; v_f - v_0 = v_r \ln\frac{m_0}{m_f} $$

4.4.3 多级火箭的速度增量

若火箭分 $n$ 级，每级质量比为 $\frac{m_{i,0}}{m_{i,f}}$，则总增量

$$ \Delta v = \sum_{i=1}^n (v_{f,i}-v_{0,i}) = v_r \sum_{i=1}^n \ln\frac{m_{i,0}}{m_{i,f}} $$

写在前面#

一、力学和相对论#

(一)、质点运动学#

1. 矢量#

1.1 矢量的定义与表示#

1.1.1 分量表示#

1.1.2 大小与单位矢量#

1.2 矢量运算#

1.3 示例#

2.参考系和坐标系#

2.1 参考系#

2.2 直角坐标系#

2.3 平面极坐标系#

2.4 自然坐标系#

3.质点运动的矢量表示#

3.1 运动学中用到的矢量#

3.2 用积分推导高中的公式#

3.2.1 速度–时间关系#

3.2.2 位移–时间关系#

3.2.3 速度–位移关系#

3.3 抛体运动#

运动方程及特性#

4.相对运动与伽利略变换#

4.1 坐标和时间的变换#

4.2 速度和加速度的变换#

4.3 典例#

(二)、动量守恒与质点动力学#

1.惯性与动量#

1.1 牛顿第一定律#

1.1.1 表述#

1.1.2 要点#

1.1.3 物理意义#

1.2 惯性质量#

1.3 动量#

2. 牛顿运动定律与动量定理#

2.1 牛顿第二定律#

2.1.1 通用形式#

2.1.2 质量恒定时的简化#

2.1.3 要点#

2.1.4 变质量系统#

2.1.5 物理意义#

2.1.6 例题#

2.2 冲量与动量定理#

2.2.1 冲量定义#

2.2.2 动量定理#

2.2.3 要点#

2.2.4 物理意义#

2.2.5 例题#

例1：弹簧碰撞#

例2：台球碰撞#

2.3 牛顿第三定律#

2.3.1 定律表述#

2.3.2 要点#

2.3.3 物理意义#

2.3.4 应用场景#

3 惯性系与非惯性系#

3.1 惯性参考系#

3.1.1 定义#

3.1.2 特性#

3.1.3 示例#

3.2 非惯性参考系#

3.2.1 定义#

3.2.2 非惯性参考系中的惯性力#

(1) 平动惯性力#

(2) 科里奥利力 与 离心力（旋转参考系）#

(3) 合成形式#

4. 质点系动量守恒#

4.1 质点系动量定理#

4.1.1 表述#

4.1.2 推导#

4.1.3 物理意义#

4.2 质心运动方程#

4.2.1 质心的定义#

4.2.2 质心相关定理推导#

4.2.3 应用#

4.3 动量守恒#

4.3.1 孤立系统#

4.3.2 矢量分量守恒#

4.3.3 应用示例#

4.4 火箭运动#