写在前面

  1. 自己整理，难免错漏，欢迎向作者指出。
  2. 笔者仅供个人学习思路，不一定最优，望各位根据自身情况灵活选择。
  3. 大学物理中积分应用广泛，请务必亲自推导，以加深理解。
  4. 愿各位学有所成！

一、力学和相对论

第一章 质点运动学

1. 矢量

在运动学中，我们用矢量（Vector）来同时描述大小和方向。大学里常用三个单位矢量$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$来表示空间三个正交方向。下面先从基本概念和表示法说起。

1.1 矢量的定义与表示

  • 矢量：既有大小，又有方向的量。记作粗体或带箭头的符号，如$\mathbf{A}$$或$$\vec A$。 在本讲义中，矢量会使用粗体表示。
  • 标量：只有大小、没有方向的量，如质量$m$$、时间$$t$$、温度$$T$等。

例 位移$\mathbf{s}$、速度$\mathbf{v}$、加速度$\mathbf{a}$都是矢量；
而路程$s$、速率$v$则是对应的标量。

1.1.1 分量表示

在直角坐标系中，任意矢量$\mathbf{A}$都可以写成三分量形式：

$$ \mathbf{A} = A_x\,\mathbf{i} \;+\; A_y\,\mathbf{j} \;+\; A_z\,\mathbf{k} $$

其中

  • $A_x,A_y,A_z$ 是在$x,y,z$方向上的分量；
  • $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 分别是$x,y,z$方向的单位矢量，满足
    $$ \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=1,\quad \mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0,\quad \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k},\quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i},\quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j} $$
1.1.2 大小与单位矢量
  • 矢量的大小（模）
    $$ |\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\, $$
  • 单位矢量：沿$\mathbf{A}$方向、模长为1的矢量
    $$ \hat{\mathbf A} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} = \frac{A_x\,\mathbf{i} + A_y\,\mathbf{j} + A_z\,\mathbf{k}} {\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} $$

1.2 矢量运算

下面列出常用的几种矢量运算及其物理意义。

运算符号定义物理意义
加法／减法$\mathbf{A}\pm\mathbf{B}$$(A_x\pm B_x)\mathbf{i} + (A_y\pm B_y)\mathbf{j} + (A_z\pm B_z)\mathbf{k}$合成／分解矢量
标量乘法$c\,\mathbf{A}$$(cA_x)\mathbf{i} + (cA_y)\mathbf{j} + (cA_z)\mathbf{k}$改变大小（也可能反转方向）
点积$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$$A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$求投影、做功 $W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$
叉积$\mathbf{A}\times\mathbf{B}$$\displaystyle\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$求法向量、力矩 $\boldsymbol\tau=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$

1.3 示例

  1. 合成合力
    两个力 $\mathbf{F}_1 = (3,2,0)\,\mathrm{N}$、$\mathbf{F}_2 = (1,-1,0)\,\mathrm{N}$ 的合力为：
$$ \mathbf{F}_{\rm net} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 = (3+1)\mathbf{i}\,\mathrm{N} + (2 - 1)\mathbf{j}\,\mathrm{N} = 4\,\mathbf{i}\,\mathrm{N} + \mathbf{j}\,\mathrm{N} $$

  1. 计算做功
    力 $\mathbf{F} = (5, 0, 0)\,\mathrm{N}$ 沿位移 $\mathbf{s} = (2, 3, 0)\,\mathrm{m}$ 做功：

    $$ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} = 5 \cdot 2\,\mathrm{J} + 0 \cdot 3\,\mathrm{J} = 10\,\mathrm{J} $$

  2. 计算力矩
    位置矢量 $\mathbf{r} = (0, 1, 0)\,\mathrm{m}$，力 $\mathbf{F} = (4, 0, 0)\,\mathrm{N}$：

    $$ \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} \,\mathrm{N \cdot m} = -4\,\mathbf{k} \,\mathrm{N \cdot m} $$

2.参考系和坐标系

2.1 参考系

参考系是研究物理过程的观察系统，由 基点、坐标轴 和 时钟 三部分构成，可分为惯性参考系与非惯性参考系，在引出牛顿定律后会详细展开。

2.2 直角坐标系

选取互相垂直的 $x$、$y$ 轴，以原点 $O$ 为基点，单位向量分别记作 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$

  • 位置矢量：

    $$ \mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} $$

  • 速度：

    $$ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{x}\,\mathbf{i} + \dot{y}\,\mathbf{j} $$

  • 加速度：

    $$ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \ddot{x}\,\mathbf{i} + \ddot{y}\,\mathbf{j} $$

2.3 平面极坐标系

以原点 $O$ 为极点，选定一条射线为极轴。坐标用 $(r(t),\theta(t))$ 表示，单位向量为径向 $\mathbf{e}_r$ 和切向 $\mathbf{e}_\theta$，满足

$$ \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta,\quad \frac{d\mathbf{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\,\mathbf{e}_r $$

  • 位置矢量：

    $$ \mathbf{r} = r\,\mathbf{e}_r $$

  • 速度：

    $$ \begin{aligned} \mathbf{v} &= \frac{d}{dt}\bigl(r\,\mathbf{e}_r\bigr) \\[4pt] &= \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\frac{d\mathbf{e}_r}{dt} \\[4pt] &= \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta \end{aligned} $$

  • 加速度：

$$ \begin{aligned} \mathbf{a} &= \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta\bigr) \\[4pt] &= \underbrace{\bigl(\ddot{r} - r\,\dot{\theta}^2\bigr)\mathbf{e}_r}_{\text{径向}} + \underbrace{\bigl(2\,\dot{r}\,\dot{\theta} + r\,\ddot{\theta}\bigr)\mathbf{e}_\theta}_{\text{切向}} \end{aligned} $$

2.4 自然坐标系

沿质点运动轨迹定义单位切向量 $\mathbf{e}_t$（方向与运动方向相同）和单位法向量 $\mathbf{e}_n$（指向曲率中心）。以轨迹弧长 $s(t)$ 参数化，速率 $v=\dot{s}$，曲率半径 $\rho$，曲率 $\kappa=1/\rho$。

  • 速度：

    $$ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{ds}{dt}\,\mathbf{e}_t = v\,\mathbf{e}_t $$

  • 加速度：

    $$ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\,(v\,\mathbf{e}_t)}{dt} = \dot{v}\,\mathbf{e}_t + v\,\frac{d\mathbf{e}_t}{dt} $$$$ \frac{d\mathbf{e}_t}{dt} = \frac{ds}{dt}\,\frac{d\mathbf{e}_t}{ds} = v\,\kappa\,\mathbf{e}_n $$

    因此

    $$ \mathbf{a} = \dot{v}\,\mathbf{e}_t + v\,(v\,\kappa)\,\mathbf{e}_n = \dot{v}\,\mathbf{e}_t + \frac{v^2}{\rho}\,\mathbf{e}_n $$

    若速率变化为 $\dot v$（切向分量），角速率 $\omega$，有：

    $$ a_n=\frac{v^2}{R} = \omega^2 R,\quad a_t=\dot v. $$

3.质点运动的矢量表示

3.1 运动学中用到的矢量

  • 位移矢量
    初始时刻位置$\mathbf{r}_0$，任意时刻位置$\mathbf{r}(t)$，位移为

    $$ \Delta\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}_0 $$

  • 速度矢量
    瞬时速度定义为位置对时间的导数

    $$ \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} $$

  • 加速度矢量
    瞬时加速度定义为速度对时间的导数

    $$ \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} =\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2} $$

3.2 用积分推导高中的公式

高中阶段，我们借助面积法来辅助理解并背诵匀加速运动公式；进入大学后，凭借微积分知识，能够从基本原理出发对其进行严密推导。推导过程至关重要——一旦遇到变加速度运动，也能灵活地运用微积分方法加以处理。

条件假设：一维直线运动，加速度$a$为常数，初时刻$t=0$时位置$x(0)=x_0$、速度$v(0)=v_0$

3.2.1 速度–时间关系

由定义$a=\frac{dv}{dt}$：

$$ a\ dt=dv $$

对等式两边积分：

$$ \int_{v_0}^{v(t)}\!dv \;=\;\int_{0}^{t}\!a\,dt \quad\Longrightarrow\quad v(t)-v_0 = a\,t $$

故得

$$ \boxed{\,v(t)=v_0 + a\,t\,} $$
3.2.2 位移–时间关系

由$v=\frac{dx}{dt}$：

$$ v\,dt = dx $$$$ \int v\,dt = \int dx $$

将$v=v_0 + a\,t$代入并积分：

$$ \int_{x_0}^{x(t)}\!dx \;=\;\int_{0}^{t}\!(v_0 + a\,t)\,dt = v_0\,t + \frac12\,a\,t^2 $$

故得

$$ \boxed{\,x(t)=x_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2\,} $$
3.2.3 速度–位移关系

注意对链式法则的应用：

$$ v = \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dv}\cdot\frac{dv}{dt} = a\,\frac{dx}{dv} $$$$ v\,dv = a\,dx $$$$ \int v\,dv = \int a\,dx $$

对等式两边积分：

$$ \int_{v_0}^{v}\!v\,dv \;=\; a\int_{x_0}^{x}\!dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2-v_0^2}{2} = a\,(x-x_0) $$

整理得

$$ \boxed{\,v^2 = v_0^2 + 2\,a\,(x - x_0)\,} $$

3.3 抛体运动

运动方程及特性
  • 假设：不计空气阻力，重力加速度 $g=9.8\rm\ m/s^2$。
  • 水平运动（匀速）
    $$ v_x = v_0\cos\theta,\quad x = v_0\cos\theta\;t $$
  • 竖直运动（匀加速）
    $$ v_y = v_0\sin\theta - g\,t,\quad y = v_0\sin\theta\;t - \tfrac12\,g\,t^2 $$
  • 飞行时间
    $$ t_{\rm total}=\frac{2v_0\sin\theta}{g} $$
  • 射程
    $$ R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} $$
  • 最大高度
    $$ H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} $$

例

已知：$v_0=20\rm\ m/s,\ \theta=30^\circ$

  • 飞行时间 $$ t_{\rm total} = \frac{2\times20\rm\ m/s\times\sin30^\circ}{9.8\rm\ m/s^2} \approx 2.04\rm\ s $$
  • 射程 $$ R = \frac{(20\rm\ m/s)^2\times\sin60^\circ}{9.8\rm\ m/s^2} \approx 35.35\rm\ m $$
  • 最大高度 $$ H = \frac{(20\rm\ m/s)^2\times(\sin30^\circ)^2}{2\times9.8\rm\ m/s^2} \approx 5.10\rm\ m $$

4.相对运动与伽利略变换

在经典力学中，不同参考系之间观察到的运动量可以通过伽利略变换来相互转换。通常我们有一个“基本参考系”（惯性系）$O$，和一个以恒定速度$\mathbf{u}$相对基本参考系运动的“运动参考系”$O'$。

4.1 坐标和时间的变换

  • 设在基本参考系中，一个事件的时空坐标是

    $$ (t,\;x,\;y,\;z) $$

  • 在以速度$\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$沿各轴平移的参考系$O'$中，同一事件的坐标是

    $$ \bigl(t',\;x',\;y',\;z'\bigr) $$

伽利略变换公式（假设两系出发时刻重合、原点重合）为：

$$ \begin{cases} t' = t\\[6pt] x' = x - u_x\,t\\ y' = y - u_y\,t\\ z' = z - u_z\,t \end{cases} $$
  • 时间不变：$t'=t$。
  • 空间坐标按运动参考系的位移修正。

4.2 速度和加速度的变换

  1. 速度变换
    对坐标变换两边对时间求导：

    $$ v'_x = \frac{dx'}{dt'} = \frac{dx}{dt} - u_x \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}' = \mathbf{v} - \mathbf{u} $$

    即：在运动参考系中看到的速度，是在基本参考系中速度减去参考系本身的速度。

  2. 加速度不变
    继续对速度变换对时间求导：

    $$ a'_x = \frac{dv'_x}{dt} = \frac{dv_x}{dt} - 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{a}' = \mathbf{a} $$

    因为$\mathbf{u}$是常向量，对时间求导为零，所以加速度在惯性参考系之间保持不变。

4.3 物理示例

  • 火车与车厢
    在匀速火车中测得的速度与地面系不同，但若测加速度（无车速变化的情况下），两系结果相同。
  • 抛体运动的不同参考系
    在以速度 $u$ 匀速行驶的火车上把球以竖直速度 $v'$ 向上抛，车内观测到球“直上直下”，而地面观测到的初速度为 $(u,v')$ 的斜抛——两系竖直运动完全相同，水平分量在地面系多出 $u$。

5.习题

题 1 推导极坐标的速度与加速度公式

设平面极坐标系 $(r,\theta)$ 中质点位置 $\mathbf r(t)=r(t)\mathbf e_r$，其中 $\mathbf e_r$ 与 $\mathbf e_\theta$ 为径向和切向单位矢量。推导速度 $\mathbf v$ 与加速度 $\mathbf a$ 的表达式（写出每一步）。

解答

步骤 1：写位置向量并作一阶导数（速度）

位置向量：

$$ \mathbf r=r(t)\,\mathbf e_r(t). $$

注意：单位矢量 $\mathbf e_r,\mathbf e_\theta$ 随角度 $\theta(t)$ 变化。先求速度：

$$ \mathbf v=\frac{d\mathbf r}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(r\mathbf e_r\bigr) = \dot r\,\mathbf e_r + r\,\frac{d\mathbf e_r}{dt}. $$

所以要计算 $\dfrac{d\mathbf e_r}{dt}$。

步骤 2：求单位矢量的时间导数

定义：$\mathbf e_r=(\cos\theta,\sin\theta)$, $\mathbf e_\theta =(-\sin\theta,\cos\theta)$。直接求导：

$$ \frac{d\mathbf e_r}{dt} = \frac{d\theta}{dt}\,(-\sin\theta,\cos\theta) = \dot\theta\,\mathbf e_\theta. $$

同理

$$ \frac{d\mathbf e_\theta}{dt} = -\dot\theta\,\mathbf e_r. $$

步骤 3：代回速度表达式

$$ \boxed{\displaystyle \mathbf v = \dot r\,\mathbf e_r + r\dot\theta\,\mathbf e_\theta.} $$

步骤 4：对速度再求导（得到加速度）

$$ \mathbf a=\frac{d\mathbf v}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot r\,\mathbf e_r) + \frac{d}{dt}(r\dot\theta\,\mathbf e_\theta). $$

逐项展开（用乘法法则）：

第一项：

$$ \frac{d}{dt}(\dot r\,\mathbf e_r) = \ddot r\,\mathbf e_r + \dot r\,\frac{d\mathbf e_r}{dt} = \ddot r\,\mathbf e_r + \dot r\,\dot\theta\,\mathbf e_\theta. $$

第二项：

$$ \frac{d}{dt}(r\dot\theta\,\mathbf e_\theta) = \frac{d}{dt}(r\dot\theta)\,\mathbf e_\theta + r\dot\theta\,\frac{d\mathbf e_\theta}{dt}. $$

注意：

$$ \frac{d}{dt}(r\dot\theta)=\dot r\dot\theta + r\ddot\theta,\qquad \frac{d\mathbf e_\theta}{dt}=-\dot\theta\,\mathbf e_r. $$

所以第二项变为：

$$ (\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\mathbf e_\theta + r\dot\theta\cdot(-\dot\theta\,\mathbf e_r) = (\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\mathbf e_\theta - r\dot\theta^2\,\mathbf e_r. $$

步骤 5：合并径向与切向项

把第一项与第二项相加： 径向分量：

$$ \ddot r\,\mathbf e_r - r\dot\theta^2\,\mathbf e_r = (\ddot r - r\dot\theta^2)\mathbf e_r. $$

切向分量：

$$ \dot r\dot\theta\,\mathbf e_\theta + (\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\mathbf e_\theta = (2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\mathbf e_\theta. $$

结论：

$$ \boxed{\displaystyle \mathbf a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\mathbf e_r + (2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\mathbf e_\theta.} $$

注：若把 $\dot\theta$ 记作 $\omega$，则形式为 $ (\ddot r - r\omega^2)\mathbf e_r + (2\dot r\omega + r\dot\omega)\mathbf e_\theta$。

题 2 求位移矢量

质点运动方程（单位 cm 与 s）：

$$ x(t)=t^2,\qquad y(t)=\frac{t^3}{320}. $$

求从 $t=2\ \mathrm s$ 到 $t=4\ \mathrm s$ 的位移矢量 $\Delta\mathbf r=\mathbf r(4)-\mathbf r(2)$。

解答

步骤 1：计算位置在两时刻的坐标（注意单位：题中已给 cm 和 s —— 可保持 cm 单位，或换成 m；这里我保留 cm）：

  • 当 $t=2\ \mathrm s$：

    $$ x(2)=2^2=4\ \mathrm{(cm)},\qquad y(2)=\frac{2^3}{320}=\frac{8}{320}=0.025\ \mathrm{(cm)}. $$

  • 当 $t=4\ \mathrm s$：

    $$ x(4)=4^2=16\ \mathrm{(cm)},\qquad y(4)=\frac{4^3}{320}=\frac{64}{320}=0.2\ \mathrm{(cm)}. $$

步骤 2：求位移矢量

$$ \Delta x = x(4)-x(2)=16-4=12\ \mathrm{cm}, $$

答案（矢量形式）：

$$ \boxed{\displaystyle \Delta\mathbf r = (12.0,\;0.175)\ \mathrm{cm}.} $$

题 3 证明一维匀加速关系

题目：证明公式

$$ v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0) $$

适用于一维恒定加速度 $a$

解答（用链式法则）

步骤 1：从定义 $a=\dfrac{dv}{dt}$ 出发，利用链式法则把 $dv/dt$ 写成 $dv/dx\cdot dx/dt$：

$$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}. $$

步骤 2：改写并积分（变量分离）：

$$ v\,dv = a\,dx. $$

两边从初始状态 $(x_0,v_0)$ 积分到 $(x,v)$：

$$ \int_{v_0}^{v} v\,dv = \int_{x_0}^{x} a\,dx. $$

左边计算得 $\tfrac12(v^2-v_0^2)$，右边为 $a(x-x_0)$。

步骤 3：整理

$$ \frac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = a(x-x_0) \quad\Longrightarrow\quad v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0). $$

结论：证明完毕。该式在 $a=$ 常数情形成立。

题 4 水平射出子弹问题

枪口水平发射子弹，初速 $v_0$（水平），枪口离地高度 $h$。忽略空气阻力，求子弹落地时相对于枪口的坐标和速度向量（写出时间、位移、速度分量及速度大小与角度）。

解答

**步骤 1：建立坐标与已知

取发射点为原点，x 轴水平方向（枪口前方），y 轴竖直向上，则初始条件：

$$ \mathbf r(0)=(0,h),\qquad \mathbf v(0)=(v_0,0). $$

重力 $ \mathbf g = (0,-g)$。

**步骤 2：竖直运动求落地时间 $t_{\rm hit}$

竖直运动方程：

$$ y(t) = h + 0\cdot t - \tfrac12 g t^2 = h - \tfrac12 g t^2. $$

落地时 $y(t_{\rm hit})=0$，解得

$$ h - \tfrac12 g t_{\rm hit}^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm hit} = \sqrt{\frac{2h}{g}}. $$

步骤 3：水平位移（射程）

水平匀速：

$$ x(t_{\rm hit}) = v_0\,t_{\rm hit} = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}. $$

步骤 4：落地速度向量

速度分量：

$$ v_x(t)=v_0\quad(\text{恒定}),\qquad v_y(t)=-g t. $$

代入 $t_{\rm hit}$：

$$ v_x = v_0,\qquad v_y = -g\sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}. $$

因此速度矢量：

$$ \boxed{\displaystyle \mathbf v_{\rm hit} = \bigl(v_0,\; -\sqrt{2gh}\bigr).} $$

速度大小（速率）：

$$ |\mathbf v_{\rm hit}| = \sqrt{v_0^2 + ( \sqrt{2gh} \,)^2 } = \sqrt{v_0^2 + 2gh}. $$

下落速度相对于水平的仰角（向下，取正角度）：

$$ \phi = \arctan\!\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) = \arctan\!\left(\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right). $$

题 5 两舰相对运动与发射角

甲舰沿正南方向匀速航行，速度大小为 $v_1$；乙舰沿正北方向匀速航行，速度大小为 $v_2$。在某时刻 $t=0$，乙舰位于坐标原点 $(0,0)$，甲舰位于 $y=L$（即在乙的正北方，初间距 $L>0$）；两舰都在同一直线（x=0）上。乙舰在 $t=0$ 时向甲舰发射炮弹，炮弹相对于乙舰发射速率为 $v_0$，发射方向与正北方向成角 $\theta$（$\theta>0$ 表示向东偏，$\theta<0$ 表示向西偏）。求发射角 $\theta$（如果存在）使得炮弹能够击中甲舰（忽略空气阻力，炮弹运动受重力仅竖直分量，设水平方向即东西方向上不受力）。

解答

步骤 1：坐标系与初始条件

取 xy 平面：y 轴向北为正，x 轴向东为正。初时刻（t=0）：

  • 乙舰位置 $\mathbf r_B(0)=(0,0)$，速度 $\mathbf v_B=(0,+v_2)$（向北）。

  • 甲舰位置 $\mathbf r_A(0)=(0,L)$，速度 $\mathbf v_A=(0,-v_1)$（向南）。

  • 炮弹相对于乙舰的发射速度（乙系）：

    $$ \mathbf u' = v_0(\sin\theta,\cos\theta), $$

    其中分量说明：取发射角 $\theta$ 为“相对于正北方向向东转的角”，因此在乙系中北向分量为 $v_0\cos\theta$，东向分量为 $v_0\sin\theta$。

步骤 2：炮弹在地面系（惯性系）的初速度

把乙舰的速度叠加到相对速度（伽利略变换）：

$$ \mathbf v_{\rm shell}(0) = \mathbf v_B + \mathbf u' = (v_0\sin\theta,\; v_2 + v_0\cos\theta). $$

步骤 3：甲、炮弹运动方程

为了使问题简洁，我们取炮弹短时间内主要在平面水平方向上命中（即忽略重力/竖直偏移或把问题视为海面上水平射击，或假设炮弹飞行时间短）；于是只考虑平面水平运动（x,y）：

  • 甲舰运动：

    $$ \mathbf r_A(t) = (0,\; L - v_1 t). $$

  • 炮弹运动（匀速直线，忽略水平方向外力）：

    $$ \mathbf r_{\rm shell}(t) = \mathbf r_B(0) + \mathbf v_{\rm shell}(0)\,t = \bigl(v_0\sin\theta\,t,\; (v_2 + v_0\cos\theta)\,t\bigr). $$

步骤 4：设碰撞时刻 $t=t^\*>0$，列方程

碰撞意味着两者位置相同：

$$ \begin{cases} v_0\sin\theta\; t^* = 0 &\text{(x 分量)}\\[4pt] (v_2 + v_0\cos\theta)\; t^* = L - v_1 t^* &\text{(y 分量)} \end{cases} $$

第一式给出条件：

$$ v_0\sin\theta\; t^* = 0. $$

因为 $v_0>0$ 且我们要求 $t^*>0$（非平凡解），得

$$ \sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 0\ \text{或}\ \pi. $$

物理意义：因为甲在 x=0 线上，若要击中甲且炮弹无横向初位移（乙在 x=0），炮弹必须不带东西偏向（θ=0 指正北方向发射，θ=π 指正南方向）。θ=π 向南发射不可能命中向南运动的甲（位置关系不合），所以必须取 θ=0（向正北发射）。

代入 θ=0 后，y 分量方程：

$$ (v_2 + v_0)\, t^* = L - v_1 t^*. $$

整理：

$$ (v_2 + v_0 + v_1)\,t^* = L \quad\Longrightarrow\quad t^*=\frac{L}{v_1+v_2+v_0}. $$

步骤 5：结果与讨论

  • 唯一可行发射角（在本几何设定且忽略横向偏位）是

    $$ \boxed{\theta=0\ \text{（即直接朝北发射）}}. $$

  • 碰撞时间为 $t^* = \dfrac{L}{v_1+v_2+v_0}$（若该时间为正且在炮弹飞行能力范围内则可命中）。

讨论（更一般情形）：

如果乙舰与甲舰不在同一纵线上（x 方向有偏置），则第一式变为 $v_0\sin\theta\,t^* = x_{A}(0) - x_B(0)$，可解得 $\theta$（通常 $\tan\theta$ 可解出）。若考虑竖直重力或空气阻力，方程应相应加入竖直分量与时间 dependence；若参考系为非惯性（例如乙在加速），需把乙的加速度考虑进来（引入惯性力/用相对速度法谨慎处理）。

第二章 动量守恒与质点动力学

1.惯性与动量

1.1 牛顿第一定律

1.1.1 表述

任何物体在不受外力作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种状态为止‌。‌‌

1.1.2 要点
  • “外力”指所有作用在物体上的外力矢量和；
  • 若合外力为零，物体的速度大小与方向都不发生变化。
1.1.3 物理意义
  • 说明力的本质是改变运动状态，而非维持运动；
  • 摩擦力、空气阻力等都是外力，若要维持匀速运动，必须用持续的力去抵消它们。

1.2 惯性质量

惯性质量 $m$ 是衡量物体“惯性大小”的物理量，代表物体抵抗运动状态改变（加速或减速）的能力。

在已知力 $F$ 作用下，物体产生加速度 $a$，则

$$ m = \frac{F}{a}\, $$

国际单位制中，质量的单位是千克（kg）。

惯性质量 vs. 引力质量：

  • 惯性质量：出现在牛顿第二定律 $F = m\,a$
  • 引力质量：出现在万有引力定律 $F = G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}$
    实验表明两者数值相等，但物理含义不同。

1.3 动量

线性动量 $\mathbf{p}$ 定义为：

$$ \mathbf{p} = m\,\mathbf{v} $$

其中 $m$ 为惯性质量，$\mathbf{v}$ 为速度矢量。

2. 牛顿运动定律与动量定理

2.1 牛顿第二定律

2.1.1 通用形式
$$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}\,,\qquad \mathbf{p}=m\,\mathbf{v}\, $$
  • 作用在系统上的合外力，等于该系统动量的变化率。
2.1.2 质量恒定时的简化

当质量 $m$ 保持不变（$\dot m=0$）时，

$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} =\frac{d}{dt}(m\,\mathbf{v}) =m\,\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\,\mathbf{a} $$

因此可写为

$$ \mathbf{F} = m\,\mathbf{a}\, $$

也就是我们在高中阶段熟悉的牛顿第二定律。

2.1.3 要点
  • 力的本质：合外力决定了系统动量的增减速度；
  • 方向关系：加速度 $\mathbf a$ 与合外力 $\mathbf F$ 同向；
  • 大小关系：在同一力作用下，质量越大，加速度越小。
2.1.4 变质量系统

对于质量可变的系统（如喷气火箭、漏水容器），

$$ \mathbf{F} = \frac{d}{dt}(m\,\mathbf{v}) = m\,\mathbf{a} + \mathbf{v}\,\frac{dm}{dt} $$

此时，除了 $m\,\mathbf{a}$ 项外，还需考虑 $\mathbf v\,\frac{dm}{dt}$

2.1.5 物理意义
  • 力的本质：力是改变物体运动状态（速度大小或方向）的原因；
  • 方向关系：加速度 $\mathbf{a}$ 的方向与合外力 $\mathbf{F}$ 的方向相同；
  • 大小关系：在同样的外力作用下，质量越大，加速度越小。
2.1.6 例题
  • 质量 $2\rm\ kg$ 的小车在水平面上受合力 $10\rm\ N$，求其加速度：
    $$ a = \frac{F}{m} = \frac{10}{2} = 5\rm\ m/s^2\, $$

2.2 冲量与动量定理

2.2.1 冲量定义

冲量 $I$ 定义为力对时间的积分：

$$ I = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt\, $$
2.2.2 动量定理

冲量等于动量的变化：

$$ I = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1\, $$

即

$$ \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1\, $$
2.2.3 要点
  • 瞬时冲击：在极短时间内的巨大力，可使动量突然改变；
  • 平均力：若用平均力 $\bar{F}$ 近似，则
    $$ I = \bar{F}\,(t_2 - t_1)\, $$
2.2.4 物理意义

  • 冲量–动量关系将“力×时间”与“质量×速度变化”直接联系起来；

  • 在碰撞、爆炸等过程分析中，往往用动量定理比直接用牛二定律更方便。

2.2.5 例题
例1：弹簧碰撞

质量为 $m$ 的小球以初速度 $v_1$（取向右为正）撞击一端固定的弹簧后反弹，离开弹簧时速度大小为 $v_2$（数值为正，方向向左）。已知碰撞持续时间为 $\Delta t$。
求：小球在碰撞过程中的平均力 $\bar F$。

已知

$$ m = 0.5\rm\ kg,\quad v_1 = 3.0\rm\ m/s,\quad v_2 = 2.0\rm\ m/s,\quad \Delta t = 0.08\rm\ s $$

解

取撞击前向右为正，则反弹后速度为

$$ v_{2} = -\,2.0\rm\ m/s $$$$ \Delta p = m\,v_{2} - m\,v_{1} = -2.5\ \rm kg\cdot m/s $$$$ \bar F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = -31.25\ \rm N $$

负号表示平均力方向向左

例2：台球碰撞

在水平且无摩擦的台球桌上，质量均为 $m$ 的两台球 A、B 相撞。碰撞前 A 球以速度 $v_{A1}$（正方向）运动，B 球静止；碰撞后 A、B 球速度分别为 $v_{A2}$、$v_{B2}$。
求：

  1. A 球受到的冲量 $I_A$；

  2. B 球受到的冲量 $I_B$；

    已知

$$ m = 0.16\rm\ kg,\quad v_{A1} = 1.2\rm\ m/s,\; v_{B1}=0,\; v_{A2} = 0.5\rm\ m/s,\; v_{B2} = 0.8\rm\ m/s $$

解

$$ I_A = m\,v_{A2} - m\,v_{A1} = -0.112\ \rm kg\cdot m/s $$

$$ I_B = m\,v_{B2} - m\,v_{B1} = 0.128\ \rm kg\cdot m/s $$

2.3 牛顿第三定律

2.3.1 定律表述

相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

$$ \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\, $$
2.3.2 要点
  • 作用力与反作用力同时出现、同时消失；
  • 它们不在同一物体上，所以不会相互抵消。
2.3.3 物理意义
  • 强调力的相互性：一切力都是相互作用的表现；
  • 保证系统内力成对出现，系统总内力对质心运动没有贡献。
2.3.4 应用场景
  • 碰撞分析：两物体相撞时，内力对系统总动量无影响；
  • 张力问题：绳两端的张力大小相等；
  • 推动与反冲：如手推墙，墙对手的反作用力使手感到压力。

3 惯性系与非惯性系

3.1 惯性参考系

3.1.1 定义

在该参考系中，若合外力为零，则质点保持静止或做匀速直线运动（牛顿第一定律成立）

3.1.2 特性
  • 任何两个惯性系之间互相以恒定速度运动
  • 牛顿第二、第三定律在所有惯性系中形式相同
3.1.3 示例
  • 在地面附近的空间，忽略地球自转影响时可看作是惯性系
  • 做匀速直线运动的火车车厢内部

3.2 非惯性参考系

3.2.1 定义

相对于惯性系具有加速度（平动或转动）的参考系

3.2.2 非惯性参考系中的惯性力

在具有平动加速度 $\mathbf a_{\rm 系}$ 以及绕固定轴以恒定角速度 $\boldsymbol\omega$ 旋转的参考系中，为使牛顿第二定律形式不变，需要引入三种惯性力：

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 实际}+ \mathbf F_{\rm 平移}+ \mathbf F_{\rm 科里奥利}+ \mathbf F_{\rm 离心} $$
(1) 平动惯性力

坐标变换
设惯性系 $S$ 中的位置为 $\mathbf r$，非惯性系 $S'$ 中的位置为 $\mathbf r'$，$S'$ 系的原点在惯性系 $S$ 中的位置为 $\mathbf R_{\rm 系}(t)$，则

$$ \mathbf r = \mathbf r' + \mathbf R_{\rm 系}(t) $$

加速度变换
在 $S$ 中

$$ \mathbf a = \frac{d^2\mathbf r}{dt^2}\Big|_S = \frac{d^2\mathbf r'}{dt^2}\Big|_{S'} + \frac{d^2\mathbf R_{\rm 系}}{dt^2} = \mathbf a' + \mathbf a_{\rm 系} $$

牛顿第二定律
在惯性系中： $m\,\mathbf a = \mathbf F_{\rm 真}$

又因为

$$ \mathbf a = \mathbf a' + \mathbf a_{\rm 系} $$$$ m\,\mathbf a'= m\,\mathbf a' + m\,\mathbf a_{\rm 系} $$

代入并移项得

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 真} - m\,\mathbf a_{\rm 系} = \mathbf F_{\rm 真} + \underbrace{\bigl(-m\,\mathbf a_{\rm 系}\bigr)}_{\mathbf F_{\rm 平移}} $$

结果

$$ \boxed{\mathbf F_{\rm 平移} = -\,m\,\mathbf a_{\rm 系}} $$
(2) 科里奥利力 与 离心力（旋转参考系）

坐标变换
设惯性系 $S$ 与绕固定轴以角速度 $\boldsymbol\omega$ 旋转的非惯性系 $S'$ 原点重合，质点位置向量在两系中均为

$$ \mathbf r = \mathbf r' $$

速度变换
在 $S$ 系中

$$ \mathbf v = \frac{d\mathbf r}{dt}\Big|_S = \frac{d\mathbf r'}{dt}\Big|_{S'} + \boldsymbol\omega\times\mathbf r' = \mathbf v' + \boldsymbol\omega\times\mathbf r' $$

其中 $\mathbf v'=\dfrac{d\mathbf r'}{dt}\big|_{S'}$ 是在旋转系 $S'$ 中的速度

加速度变换
在 $S$ 系中

$$ \begin{aligned} \mathbf a &= \frac{d}{dt}\bigl(\mathbf v' + \boldsymbol\omega\times\mathbf r'\bigr)\Big|_S \\[4pt] &= \underbrace{\frac{d\mathbf v'}{dt}\Big|_{S'}}_{\mathbf a'} + \underbrace{\boldsymbol\omega\times\frac{d\mathbf r'}{dt}\Big|_{S'}}_{\boldsymbol\omega\times\mathbf v'} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r') \\[4pt] &= \mathbf a' + 2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v' + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r') \end{aligned} $$

牛顿第二定律（旋转系）
在 $S$ 系中

$$ m\,\mathbf a = \mathbf F_{\rm 真} $$

代入上式并移项得

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 真} - m\bigl(2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v' + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')\bigr) $$

定义惯性力
将后两项定义为惯性力 $\mathbf F_{\rm 惯}$，分解为：

  • 科里奥利力
    $$ \boxed{\mathbf F_{\rm 科里奥利} = -2\,m\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v'} $$
  • 离心力
    $$ \boxed{\mathbf F_{\rm 离心} = -m\,\bigl[\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')\bigr] = m\,\omega^2\,\mathbf r'_\perp} $$

最终在旋转参考系中可写为：

$$ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 真} + \mathbf F_{\rm 科里奥利} + \mathbf F_{\rm 离心} $$
(3) 合成形式

结合平动与转动两种情形，在同时含 $\mathbf a_{\rm 系}$ 和 $\boldsymbol\omega$ 的非惯性系中，

$$ \boxed{ m\,\mathbf a' = \mathbf F_{\rm 实际} + \mathbf F_{\rm 平移} + \mathbf F_{\rm 科里奥利} + \mathbf F_{\rm 离心} } $$

4. 质点系动量守恒

4.1 质点系动量定理

4.1.1 表述

系统由 $N$ 个质点组成，则总动量为：

$$ \mathbf P = \sum_{i=1}^N \mathbf p_i = \sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf v_i $$

动量定理：

$$ \frac{d\mathbf P}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf v_i\Bigr) = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} $$
4.1.2 推导

  • 对第 $i$ 个质点

    $$ \frac{d}{dt}(m_i\,\mathbf v_i) = \mathbf F_{i,\rm ext}+ \sum_{j\neq i}\mathbf F_{ij} $$

  • 对 $i=1$ 到 $N$ 求和

    $$ \sum_{i=1}^N \frac{d}{dt}(m_i\,\mathbf v_i) = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} + \sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}\mathbf F_{ij} $$

  • 由牛三定律 $\mathbf F_{ij}=-\mathbf F_{ji}$，内力之和为零

    $$ \sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}\mathbf F_{ij} = 0 $$

    故

    $$ \frac{d\mathbf P}{dt} = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} $$
4.1.3 物理意义

外力的矢量和决定系统总动量的变化率

4.2 质心运动方程

4.2.1 质心的定义

总质量为

$$ M = \sum_{i=1}^N m_i $$

则质心位置为

$$ \mathbf R = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf r_i $$
4.2.2 质心相关定理推导
  • 质心速度
    $$ \frac{d\mathbf R}{dt} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf v_i = \frac{\mathbf P}{M} $$
  • 质心加速度
    $$ \frac{d^2\mathbf R}{dt^2} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\,\mathbf a_i $$
  • 根据质点系动量定理 $\sum_i m_i\,\mathbf a_i = \sum_i\mathbf F_{i,\rm ext}$，得
    $$ M\,\frac{d^2\mathbf R}{dt^2} = \sum_{i=1}^N \mathbf F_{i,\rm ext} $$
4.2.3 应用

系统质心同质点受合外力作用一样，也有运动方程

$$ M\,\mathbf a_{\rm cm} = \mathbf F_{\rm tot,\,ext} $$

4.3 动量守恒

4.3.1 孤立系统

若 $\sum_{i}\mathbf F_{i,\rm ext}=0$，则

$$ \frac{d\mathbf P}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf P=\text{常量} $$
4.3.2 矢量分量守恒
$$ P_x = \sum_i m_i v_{i,x} = \text{常量} $$

$$ P_y = \sum_i m_i v_{i,y} = \text{常量} $$

$$ P_z = \sum_i m_i v_{i,z} = \text{常量} $$
4.3.3 应用示例

  • 弹性碰撞

    $$ m_1v_{1,i}+m_2v_{2,i} = m_1v_{1,f}+m_2v_{2,f} $$$$ \tfrac12m_1v_{1,i}^2+\tfrac12m_2v_{2,i}^2 = \tfrac12m_1v_{1,f}^2+\tfrac12m_2v_{2,f}^2 $$

  • 非弹性碰撞

    $$ m_1v_{1,i}+m_2v_{2,i} = m_1v_{1,f}+m_2v_{2,f} $$

  • 反冲（枪—子弹系统）
    初动量为零，发射后

    $$ m_{\rm 子弹}v_{\rm 子弹} + m_{\rm 枪}v_{\rm 枪} = 0 $$

4.4 火箭运动

4.4.1 火箭方程的动量推导

假设

  • 火箭当前质量 $m$
  • 火箭速度 $v$
  • 喷气速度（相对于火箭后方） $v_r$
  • 在极短时间 $dt$ 内，火箭质量减小 $-dm$（$dm<0$），速度增量 $dv$

喷气前后系统（火箭＋微量喷气）总动量相等:

$$ m\,v = (m + dm)(v + dv)+(-dm)\,(v - v_r) $$$$ (m + dm)(v + dv) = m\,v + m\,dv + v\,dm + dm\,dv $$$$ m\,v = m\,v + m\,dv + v\,dm + dm\,dv +(-dm)\,(v - v_r) $$$$ m\,v = m\,v + m\,dv + v\,dm - v\,dm + v_r\,dm = m\,v + m\,dv + v_r\,dm $$$$ 0 = m\,dv + v_r\,dm \quad\Longrightarrow\quad m\,dv = -\,v_r\,dm $$
4.4.2 理想火箭方程

两边积分，从初始质量 $m_0$ 到末质量 $m_f$，速度从 $v_0$ 到 $v_f$

$$ \int_{v_0}^{v_f} dv = -\,v_r \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} \;\Longrightarrow\; v_f - v_0 = v_r \ln\frac{m_0}{m_f} $$
4.4.3 多级火箭的速度增量

若火箭分 $n$ 级，每级质量比为 $\frac{m_{i,0}}{m_{i,f}}$，则总增量

$$ \Delta v = \sum_{i=1}^n (v_{f,i}-v_{0,i}) = v_r \sum_{i=1}^n \ln\frac{m_{i,0}}{m_{i,f}} $$

第三章 机械能守恒

1. 功与功率

1.1 功的定义（质点）

对质点，力𝑭在质点沿位移微元 d𝒓 上所做的微功为：

$$ \delta W = \mathbf F\cdot d\mathbf r $$

若力沿路径可积，则从点 A 到点 B 的功为线积分：

$$ W_{A\to B}=\int_{A}^{B}\mathbf F(\mathbf r)\cdot d\mathbf r $$

常见特例：恒定力沿直线位移 s，且夹角为 θ，$W=F s\cos\theta.$

功的单位：焦耳 (J)；1 J = 1 N·m

1.2 功的性质

  • 功是标量，可以为正、为负或为零。
  • 力的分解：若 $\mathbf F=\mathbf F_1+\mathbf F_2$，则功线性可分： $$ W(\mathbf F)=W(\mathbf F_1)+W(\mathbf F_2) $$
  • 在多个力同时作用下，总功等于各力分别对相同位移所做功之和。

1.3 功率

瞬时功率定义为力做功的时间导数：

$$ P=\frac{dW}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v $$

平均功率（在时间 Δt 内）：$\bar P=\dfrac{W}{\Delta t}$

2. 动能与动能定理

2.1 动能的定义

质点动能定义为

$$ E_k=\tfrac12 m v^2 $$

对质点系，总动能为各质点动能之和。

2.2 动能定理

推导（对质点）：

由牛顿第二定律 $\mathbf F=m\mathbf a$，两边点乘速度 $\mathbf v$ 得：

$$ \mathbf F\cdot\mathbf v=m\mathbf a\cdot\mathbf v = m\frac{d\mathbf v}{dt}\cdot\mathbf v = m\frac{1}{2}\frac{d(v^2)}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\tfrac12 m v^2\bigr) $$

从 t1 到 t2 对时间积分：

$$ \int_{t_1}^{t_2}\mathbf F\cdot\mathbf v\,dt = \tfrac12 m v_2^2 - \tfrac12 m v_1^2 $$

左边等于沿质点路径的功 $W_{1\to2}$，因此得到：

$$ W_{1\to2}=\Delta E_k = E_{k2}-E_{k1} $$

这是动能定理。对质点系可类比求和,但是需要注意内力做功的项。

2.3 应用提示

  • 动能定理适合用于力与位移可直接联系的情形（如瞬时冲量问题、变力做功的积分计算）。
  • 与能量守恒结合，常用于求速度或高度等量。

3. 保守力与势能

3.1 保守力的定义

若力场的功与路径无关，仅与起止点有关（或闭合路径功为零），该力称为保守力。

数学条件（在开集内光滑向量场）等价于力场无旋度：$\nabla\times\mathbf F=0$。

3.2 势能的定义

对保守力 $\mathbf F$，可定义势能函数 $U(\mathbf r)$，使得

$$ \mathbf F(\mathbf r) = -\nabla U(\mathbf r) $$

并满足

$$ W_{A\to B}^{\text{保守}} = -\bigl[U(B)-U(A)\bigr] $$

常见势能：

  • 近地面重力势能：$U=mgh$（取参考点为 h=0）
  • 弹簧势能：$U=\tfrac12 k x^2$（弹簧平衡位置为 x=0）
  • 万有引力势能：$U=-\dfrac{G M m}{r}$

3.3 势能与力的计算

例：弹簧力 $F=-kx$，则

$$ U(x)=\int -F\,dx = \int kx\,dx = \tfrac12 k x^2 + C $$

常取常数 C=0

4. 机械能守恒

4.1 机械能守恒的表述

对于仅受保守力作用的孤立系统（无非保守力作功），机械能守恒：

$$ E_{\text{mech}}=E_k+U=\text{常量} $$

等价形式：在两点间 $E_{k1}+U_1 = E_{k2}+U_2$

4.2 含非保守力时的一般能量方程

若存在非保守力（作功 $W_{\text{non}}$，例如摩擦做负功），则

$$ \Delta E_k + \Delta U = W_{\text{non}} $$

写成机械能角度：

$$ \Delta (E_k+U)=W_{\text{non}} $$

通常 $W_{\text{non}}<0$ 表示机械能减少。

4.3 使用建议

  • 若题目中只有重力和弹力（或只有保守力），优先使用机械能守恒求速度、位移、最大高度等。
  • 若题目同时涉及摩擦、空气阻力等非保守力，可先用能量方程包含损耗项，或分段混合动能定理与能量守恒。

5. 常见物理量计算与例题

5.1 例 1：重力自由落体（无空气阻力）

题：质量 m 物体从高度 h 自由落下，求落地速度。

解：初速度零，取地面 U=0，初势能 $U_i = mgh$，末动能 $\tfrac12 m v^2$。机械能守恒：

$$ mgh = \tfrac12 m v^2 \Rightarrow v=\sqrt{2gh} $$

5.2 例 2：弹簧-质点系统

题：质量 m 的质点由静止释放于距弹簧平衡位置 x0 处（拉伸或压缩），求通过平衡位置时的速度。

解：初能量 $E_i=\tfrac12 k x_0^2$，平衡位置势能为 0，故

$$ \tfrac12 k x_0^2 = \tfrac12 m v^2 \Rightarrow v = x_0\sqrt{\frac{k}{m}} $$

5.3 例 3：摆的近似（小角）

小振幅摆（长度 l），位移角 θ 相对于最低点，重力势能近似为

$$ \Delta U \approx mg\cdot l(1-\cos\theta) \approx \tfrac12 mg l \theta^2 $$

周期近似：$T\approx 2\pi\sqrt{l/g}$，但在本章只需用能量关系求振幅或速度。

5.4 例 4：滑块从斜面滑下有摩擦

题：高度 h，斜面摩擦系数 μ，物体沿斜面下滑到地面，求末速度。

解：机械能方程：

$$ mgh - W_{\text{fr}} = \tfrac12 m v^2 $$

若滑行路径长为 s，摩擦做功 $W_{\text{fr}}=\mu m g \cos\alpha \cdot s$（或直接给出），代入求 v。

6. 非保守力与能量耗散

6.1 摩擦做功的一般处理

摩擦力通常做负功，使机械能减少。处理方法：在能量方程中加入项 $W_{\text{fr}}$：

$$ E_{k1}+U_1 + W_{\text{fr}} = E_{k2}+U_2 $$

记得 $W_{fr}<0$（或写减号）。

6.2 示例：滑动摩擦停块问题

若初速度 v0、摩擦系数 μ、接触面法向力 N，系统将停止，停止前做功等于初动能：

$$ |W_{\text{fr}}| = \tfrac12 m v_0^2 $$

由 $W_{\text{fr}}= -\mu N s$ 可解出路程 s。

7. 碰撞问题中的能量

7.1 对心碰撞的一般处理

  • 动量守恒：总动量守恒（若无外力）。
  • 能量守恒：仅在完全弹性碰撞时适用（系统机械能守恒）。

两球对心完全弹性碰撞的解（速度形式）：

$$ v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i} $$$$ \\ v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i} $$

若 m2=0（静止小球），则简化为高中熟悉的动碰静公式。

7.2 恢复系数 e 的定义

$$ e=\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}},\quad 0\le e\le 1. $$

  • $e=1$：完全弹性；同时满足动量与动能守恒。

  • $0

  • $e=0$：完全非弹性；两物体粘在一起，分离速度为 0。动量守恒，但动能损失最大。

7.3 例：子弹嵌入木块（完全非弹性）

初始子弹速度 v，质量 m，木块质量 M 静止。嵌入后速度 V：

动量守恒：$ m v = (m+M) V \Rightarrow V=\dfrac{m}{m+M}v.$

机械能变化（损失）：

$\Delta E = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 (m+M)V^2.$

8. 质心系与克尼希定理

8.1 质心定义回顾

$$ \displaystyle \mathbf R=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf r_i, M=\sum_i m_i $$

8.2 克尼希定理（动能分解）

总动能可分为质心动能与相对动能：

$$ K_{\rm tot}=\tfrac12 M V_{\rm cm}^2 + \sum_i \tfrac12 m_i v_i'^2, $$

其中 $v_i'$ 为质点 i 相对质心的速度。

该定理在碰撞分析中常用于将能量分解，便于判断能量分配与损耗。

9. 习题

练习 1（重力与能量）

质量 m=2.0 kg 的物体从高度 10 m 自由落体，求落地速度（g=9.8 m/s^2）。

答案：$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9.8\times10}=\sqrt{196}=14.0\ \mathrm{m/s}.$

练习 2（弹簧）

质量 m = 0.5 kg 的块与劲度系数 k = 200 N/m 的弹簧接触，被压缩 x0 = 0.1 m 后释放，求通过平衡位置时的速度。

解：

$$ \tfrac12 k x_0^2 = \tfrac12 m v^2 $$$$ \Rightarrow v = x_0\sqrt{k/m} = 0.1\sqrt{200/0.5}=0.1\sqrt{400}=0.1\times20=2.0\ \mathrm{m/s}. $$

练习 3（摩擦）

物体 m=1.0 kg 从静止从高度 5 m 滑下，摩擦做功 W_fr = -10 J，求到达底部的速度。

解：机械能方程：$mgh + W_{fr} = \tfrac12 m v^2$. 带入：$1\times9.8\times5 -10 = \tfrac12 v^2$。

计算：$49-10=39=\tfrac12 v^2\Rightarrow v^2=78\Rightarrow v=8.83\ \mathrm{m/s}.$

练习 4（碰撞）

两球 m1=1 kg, m2=3 kg，初速度 v1=5 m/s（右），v2=0。完全弹性碰撞后求 v1f, v2f。

解：代入公式： $v_{1f}=\dfrac{1-3}{1+3}5 + \dfrac{2\times3}{4}\times0 = \dfrac{-2}{4}5 = -2.5\ \mathrm{m/s}.$

$v_{2f}=\dfrac{2\times1}{4}\times5 + \dfrac{3-1}{4}\times0 = \dfrac{10}{4}=2.5\ \mathrm{m/s}.$

练习 5（火箭方程速算）

单级火箭喷气速度 v_r = 3000 m/s，初质量 m0=100000 kg，末质量 mf=20000 kg，求理论 Δv。

解：$\Delta v = v_r \ln(m_0/m_f) = 3000\ln(5) \approx 3000\times1.609=4827\ \mathrm{m/s}.$