第一章：原子核的一般性质

1.1 电荷、质量与半径（Charge, Mass, and Radius）

一、原子核电荷的精确测定与扩展

卢瑟福模型基础
1911 年，卢瑟福通过用阿尔法粒子轰击金属薄膜的散射实验发现，原子内部存在一个带正电的核心。它的尺寸在 $10^{-12}\,\text{cm}$ 量级，仅占原子总体积的万分之一，但却占据了整个原子 99.9% 的质量。任意原子序数为 $Z$ 的原子核，其电荷量严格等于 $Ze$（$e$ 为基本电荷量）。
莫斯莱公式（Moseley formula）
实验上可以通过测量元素的特征 X 射线频率 $\nu$ 来确定原子序数 $Z$。其经验公式为：
$$ \sqrt{\nu} = AZ - B $$
其中 $A$ 和 $B$ 对于一定范围内的元素是常数。
元素存在的极限与超重核
量子电动力学（QED）理论表明，当 $Z \sim 170$ 甚至更大时，原子结构在理论上依然成立。然而，由于原子核本身的不稳定性，元素存在的极限会更早达到。科学家预测在 $Z = 114$ 附近存在拥有较长寿命的超重元素，形成所谓的“稳定岛”。目前人类合成的超重元素已达到 $Z = 118$。

二、原子核质量的微观测量法

质量单位的定义
由于微观质量极小，物理学规定 ${}^{12}\mathrm{C}$ 原子的质量精确等于 $12\,\mathrm{u}$，从而推导出原子质量单位：
$$ 1\,\mathrm{u} = 1.6605387 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} $$
质谱仪（Mass Spectrometer）原理推导
1. 电场加速
  电离后的原子在电场 $V$ 中获得动能，满足：
  $$ \frac{1}{2}Mv^2 = qV $$
2. 磁场偏转
  随后离子进入磁场 $B$，洛伦兹力提供向心力，满足：
  $$ qvB = \frac{Mv^2}{R} $$
3. 质量求解
  联立上述两式消去速度 $v$，即可得到精确的质量测量公式：
  $$ M = \frac{qB^2R^2}{2V} $$
  只要测出偏转曲率半径 $R$，即可计算出质量。

三、原子核的尺寸分布与密度特征

两种半径定义
- 核力半径
  通过高能阿尔法粒子散射实验测定。当距离足够近时，除了库仑斥力，还会出现强吸引作用（核力）。核力起作用的临界半径即为核力半径。
- 电荷分布半径
  利用波长小于核半径的高能电子在原子核上的散射来测定，本质上是测量质子的分布半径。此半径通常小于核力半径。
费米分布（Fermi distribution）
实验表明，原子核并非密度均匀的硬球，其电荷（或质量）密度 $\rho(r)$ 随中心距离 $r$ 的变化遵循费米分布公式：
$$ \rho(r) = \frac{\rho_0}{1 + e^{(r - R_{1/2})/a}} $$
在中心部分密度近似恒定，在 $r = R_{1/2}$ 处密度降为中心值的一半。在边界处，密度从 90% 骤降至 10% 的区间宽度为：
$$ t = 4.4a $$
其中 $a$ 为表面弥散宽度参数。
中子皮与中子晕
- 对于中子数远大于质子数（$N/Z$ 很大）的原子核，中子的分布半径略大于质子，形成厚度约 $0.2\,\mathrm{fm}$ 的中子皮（neutron skin），如某些氦、铍同位素。
- 极少数核（如 ${}^{11}\mathrm{Li}$）甚至拥有厚达 $1.7\,\mathrm{fm}$ 的中子层，被称为中子晕核（neutron halo nucleus）。
核物质密度极限
根据半径近似公式：
$$ R \cong r_0 A^{1/3} $$
其中 $r_0 \approx 1.4 \sim 1.5\,\mathrm{fm}$，可推导得出原子核体积与质量数 $A$ 成正比，即：
$$ V \propto A $$
这意味着所有原子核的核子密度大致恒定为：
$$ n \approx 10^{38}\,\mathrm{cm}^{-3} $$
转化为质量密度则高达：
$$ \rho \approx 1.66 \times 10^{14}\,\mathrm{g/cm^3} $$

1.2 核总角动量与自旋（Total Angular Momentum of the Nucleus）

物理起源
核自旋 $P_I$ 属于原子核的内禀运动。由于质子和中子本身具有 $\frac{1}{2}$ 的自旋，同时它们在核内进行复杂的相对轨道运动，这两者的矢量和构成了原子核的总自旋。其大小严格遵循量子力学规律：
$$ P_I = \sqrt{I(I+1)}\hbar $$
超精细结构（Hyperfine Structure）测量
原子光谱的“精细结构”是由电子自旋 $P_s$ 与轨道角动量 $P_l$ 耦合产生的总角动量 $P_j$ 引起的；而“超精细结构”则是核自旋 $P_I$ 进一步与电子总角动量 $P_j$ 耦合导致的。整个原子的总角动量为：
$$ P_F = P_I + P_j $$
其量子数 $F$ 的取值范围为：
$$ F = I+j,\ I+j-1,\ \dots,\ |I-j| $$

实验测定 $I$ 的三种方法

裂分能级计数法
当 $I \le j$ 时，能级会裂分成 $2I+1$ 个子能级。只要数出子能级的数量即可反推 $I$。
能级间距法则（Spacing rule）
当 $I \ge j$ 时，利用相邻能级间的能量差比例规律推算：
$$ \Delta E_1 : \Delta E_2 : \Delta E_3 : \cdots = (I+j) : (I+j-1) : (I+j-2) : \cdots $$
相对强度法则
通过测量光谱线的相对强度 $R_1$ 和 $R_2$ 反推：
$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{2F_1+1}{2F_2+1} = \frac{2(I+j)+1}{2(I+j-1)+1} $$

1.3 磁矩与核磁共振（Magnetic Moments）

反常磁矩现象
原子核的磁矩公式为：
$$ \mu_I = g_I \left(\frac{e}{2m_p}\right) P_I $$
其中 $g_I$ 为核 $g$ 因子，$m_p$ 为质子质量。实验发现核子的磁矩是“反常的”：理论上不带电的中子应该没有磁矩，但实验测得其 $g_n = -3.826$；质子的理论值为 2，但实测为 $g_p = 5.586$。
核磁共振（NMR）测量原理解析
测量磁矩的核心在于精确测定 $g_I$。

1. 塞曼分裂

将样品置于均匀强磁场 $B$ 中，核磁矩与磁场相互作用获得附加能量：

$$ E = -g_I \mu_N m_I B $$

相邻能级的跃迁能量差为：

$$ \Delta E = g_I \mu_N B $$

2. 高频共振吸收

施加一个垂直于 $B$ 的较弱高频交变磁场。当其频率 $\nu$ 满足共振条件：

$$ h\nu = \Delta E $$

时，核子会强烈吸收能量发生翻转跳跃。

3. 电路设计细节

实验中使用一个 30 MHz 的振荡器输入到平衡线的两臂。一条臂放置处于磁场 $B$ 中的测试样品，另一条臂配有延迟电路（delay circuit）将相位延迟 $180^\circ$。

未共振时，两臂信号在 B 点互相抵消。
一旦调节磁场 $B$ 达到共振条件，样品端信号减弱，B 点出现电压输出。
同时接入 30 Hz 的低频振荡器扫描磁场并作为示波器扫描电压，从而在示波器上稳定显示出共振吸收峰。

1.4 电四极矩（Quadrupole Moments）

数学定义与勒让德多项式展开
电四极矩的存在证明了大多数原子核并非完美球形，而是轴对称椭球体。若将其电势在对称轴上展开（利用勒让德多项式 $P_l(\cos\theta)$），除了单极矩项，还会出现偶极矩项（经证明为 0）和四极矩项。电四极矩 $Q$ 严格定义为：
$$ Q = \frac{1}{e}\int_V \rho\left(3z'^2 - r'^2\right)\,d\tau $$
形变参数 $\epsilon$
电四极矩 $Q$ 直接与形变参数 $\epsilon \equiv \frac{\Delta R}{R}$ 相关联，近似公式为：
$$ Q \approx \frac{6}{5} Z r_0^2 A^{2/3}\epsilon $$
几何意义
$Q$ 的绝对值通常只有百分之几。大部分发生形变的原子核 $Q > 0$，呈现长椭球体（prolate spheroids，即 $z$ 轴方向拉长）；若 $Q < 0$，则为扁椭球体（oblate）。
高能物理中的体现
四极形变不仅在低能区被观测到，在欧洲核子中心（CERN）的大型强子对撞机（LHC）的极高能铅离子对撞中，这种四极几何各向异性依然会驱动横向膨胀的力场 $\vec{F}$。

1.5 宇称（Parity）

空间反演算符 $\hat{P}$
这是一个纯微观概念，描述波函数在坐标反演下的对称性：
$$ \hat{P}\psi(x) = K\psi(x) $$
其本征值仅为：
- $K=+1$：偶宇称，$\psi(-x)=\psi(x)$
- $K=-1$：奇宇称，$\psi(-x)=-\psi(x)$
宇称守恒的量子力学条件
如果系统的哈密顿算符 $\hat{H}$ 在空间反演下不变，即：
$$ H(-x) = H(x) $$
则宇称算符与哈密顿算符对易：
$$ \hat{P}\hat{H} = \hat{H}\hat{P} $$
这意味着 $K$ 是一个好量子数，不随时间演化，即“宇称守恒定律”。
原子核宇称的计算
近似认为原子核的总宇称是其内部所有独立运动核子轨道宇称的连乘积：
$$ \pi_N = \prod_{i=1}^{A}(-1)^{l_i} $$
其中 $l_i$ 为核子的轨道角动量量子数。
物理史上的大地震
物理学界长期笃信宇称在所有过程中守恒。1956 年，李政道（T. D. Lee）和杨振宁（C. N. Yang）敏锐地指出，在弱相互作用（例如 $\beta$ 衰变）中宇称可能不守恒。这一惊世骇俗的假说很快被吴健雄（C. S. Wu）的钴-60 实验完美证实，这是现代物理学发展史上的重大转折。