第一章：原子核的一般性质
本章主要讨论原子核作为整体所表现出的若干基本静态性质，包括：电荷、质量、半径、自旋、磁矩、电四极矩、宇称、统计性质与同位旋。
它们构成了后续理解核衰变、核反应与核结构模型的基础。
1.1 电荷、质量与半径（Charge, Mass, and Radius）
1.1.1 原子核电荷
一、卢瑟福模型与核电荷的确定
1911 年，卢瑟福通过 $\alpha$ 粒子轰击金属薄膜的散射实验发现：原子内部存在一个体积极小、带正电且集中了几乎全部质量的核心，即原子核。
实验表明，原子核的尺度约为 $10^{-12}\,\text{cm}$ 量级，远小于原子本身的尺度。
若原子序数为 $Z$，则原子核带电量为
$$ Q = Ze $$其中 $e$ 为基本电荷量。
这说明：
- $Z$ 等于核内质子数；
- 对中性原子而言，$Z$ 也等于核外电子数；
- 元素的种类由 $Z$ 唯一决定。
二、莫斯莱公式
实验上可通过元素特征 X 射线频率 $\nu$ 来确定原子序数 $Z$，其经验关系为
$$ \sqrt{\nu} = AZ - B $$其中 $A$ 与 $B$ 在一定元素范围内近似为常数。
这表明原子序数不是简单的排列表编号，而是具有明确物理意义、可由实验测定的量。
三、元素存在的极限与超重核
量子电动力学（QED）表明，若只讨论原子电子结构，则原子序数在理论上可延伸到 $Z \sim 170$ 甚至更高。
但真正限制元素存在的，通常首先是原子核本身的不稳定性。
理论上，人们曾预测在 $Z \approx 114$ 附近存在相对稳定的超重核区域，即所谓“稳定岛”。目前人工合成元素已扩展到 $Z = 118$。
1.1.2 原子核质量
一、原子质量与核质量
原子核质量通常不直接测量，而是通过原子质量或离子质量间接得到。若忽略电子束缚能，则有近似关系
$$ m_{\text{nucleus}} \approx m_{\text{atom}} - Zm_e $$其中 $m_e$ 为电子质量。
在许多核反应计算中，由于反应前后电子数相同，直接使用原子质量往往更方便，因为电子质量项会自动抵消。
二、原子质量单位
规定 ${}^{12}\mathrm{C}$ 原子的质量精确为 $12\,\mathrm{u}$，于是定义原子质量单位
$$ 1\,\mathrm{u} = 1.6605387 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} $$这里需要区分三个概念：
- 质量数 $A$：核子总数，满足 $A = Z + N$；
- 原子质量：整个原子的真实质量；
- 核质量：除去核外电子后的原子核质量。
三、质谱仪原理
质谱仪测量质量的基本思路是：先加速带电粒子，再利用磁场偏转轨迹，由轨道半径反推质量。
- 在电压 $V$ 下加速：
- 进入磁场 $B$ 后作圆周运动：
- 消去速度 $v$ 后得：
其中：
- $V$ 决定粒子获得的动能；
- $B$ 控制偏转程度；
- $R$ 是实验可测量量；
- 质量越大，偏转半径越大。
四、相关术语
以下几组概念必须掌握：
- 同位素（isotopes）：$Z$ 相同；
- 同中子素（isotones）：$N$ 相同；
- 同量异位素（isobars）：$A$ 相同；
- 镜像核（mirror nuclei）：一对原子核中 $(Z,N)$ 互换；
- 同质异能素（isomers）：$A,Z$ 相同，但处于不同能态。
1.1.3 原子核半径
一、半径量级
原子核半径非常小，通常在
$$ 10^{-13} \sim 10^{-12}\,\text{cm} $$量级，不能直接“测量长度”，通常依赖散射实验进行间接测定。
二、两种常见半径定义
核力半径
由高能 $\alpha$ 粒子散射实验确定。当粒子靠近原子核时，除库仑斥力外还会感受到强相互作用吸引。强相互作用开始显著起作用的范围可定义为核力半径。电荷分布半径
由高能电子散射测得。由于电子与核之间主要是电磁相互作用，因此它本质上反映的是核内质子电荷分布范围。
三、费米分布与表面弥散
实验表明，原子核并不是一个边界陡峭的均匀硬球，其电荷密度或质量密度更适合用费米分布描述：
$$ \rho(r) = \frac{\rho_0}{1 + \exp\!\left(\frac{r - R_{1/2}}{a}\right)} $$其中：
- $\rho_0$ 为中心密度；
- $R_{1/2}$ 为密度降至中心值一半处的半径；
- $a$ 为表面弥散参数。
若定义表面厚度 $t$ 为密度从 $0.9\rho_0$ 下降到 $0.1\rho_0$ 所对应的距离，则有近似关系
$$ t \approx 4.4a $$这说明原子核表面是一个弥散过渡区，而不是理想硬边界。
四、核半径经验公式
最重要的经验关系是
$$ R = r_0 A^{1/3} $$其中
$$ r_0 \approx 1.4 \sim 1.5\,\text{fm} $$因此核体积满足
$$ V \propto R^3 \propto A $$说明不同原子核的平均核子密度大致相同。
五、核物质密度
由上式可知，原子核的核子数密度近似为常数，因此其质量密度极高，约为
$$ \rho \sim 10^{14}\,\text{g/cm}^3 $$也就是说，$1\,\text{cm}^3$ 的核物质质量可达上亿吨量级。
六、中子皮与中子晕
对于中子数远大于质子数的原子核，质子分布半径与中子分布半径不再完全相同：
- 若中子分布略向外延伸，形成厚度约 $0.2\,\text{fm}$ 的中子皮（neutron skin）；
- 若外延非常显著，则形成中子晕（neutron halo），如 ${}^{11}\mathrm{Li}$ 的中子晕厚度可达约 $1.7\,\text{fm}$。
这部分内容是现代核结构研究的重要方向之一。
1.2 核总角动量与自旋（Total Angular Momentum of the Nucleus）
一、核自旋的来源
原子核由质子和中子组成。每个核子本身具有自旋 $1/2$，同时还可能在核内进行轨道运动，因此原子核总角动量来源于所有核子的：
- 自旋角动量；
- 轨道角动量；
的矢量和。
核自旋量子数记为 $I$，其角动量大小为
$$ |\mathbf{I}| = \sqrt{I(I+1)}\,\hbar $$其中 $I$ 可以是整数，也可以是半整数。
需要强调的是，核自旋不是经典意义下“原子核整体像刚体一样旋转”，而是核内部量子运动的结果。
二、超精细结构与核自旋测量
电子的轨道角动量 $\mathbf{l}$ 与电子自旋 $\mathbf{s}$ 耦合成电子总角动量 $\mathbf{j}$，形成原子光谱中的精细结构。
进一步地，核自旋 $\mathbf{I}$ 与电子总角动量 $\mathbf{j}$ 耦合，得到整个原子的总角动量：
其量子数取值为
$$ F = I + j,\ I + j - 1,\ \dots,\ |I - j| $$不同的 $F$ 对应略有差异的能级，从而形成超精细结构。
三、测量核自旋的三种方法
1. 裂分条数法
当 $I \le j$ 时，超精细能级数为
$$ 2I + 1 $$因此数出分裂条数即可反推出核自旋 $I$。若完全不分裂，则常对应 $I=0$。
2. 能级间距法则
当 $I \ge j$ 时，不能单纯依靠裂分条数，需要利用相邻能级间距的比例关系：
$$ \Delta E_1 : \Delta E_2 : \Delta E_3 : \cdots = (I+j):(I+j-1):(I+j-2):\cdots $$3. 相对强度法
超精细谱线的相对强度与简并度有关，满足
$$ R \propto 2F+1 $$因此也可以通过测量谱线相对强度来确定 $I$。
四、重要实验规律
核自旋有两条非常重要的经验规律：
- 偶质量数核的自旋为整数；
- 奇质量数核的自旋为半整数。
尤其是偶偶核（即质子数、 中子数均为偶数）通常有
$$ I = 0 $$这反映了核子之间明显的配对效应。
1.3 磁矩与核磁共振（Magnetic Moments and NMR）
一、原子核磁矩
原子核是带电体系，并且具有总角动量，因此通常也具有磁矩。
核子磁矩实验值为：
而在最简单的点粒子模型下，原本预期应有：
$$ g_p = 2,\qquad g_n = 0 $$因此，质子和中子都表现出反常磁矩。尤其是中子虽然总电荷为零，却仍有非零磁矩，说明核子内部存在更深层的带电结构。
核整体磁矩通常可写为
$$ \mu_I = g_I \mu_N I $$其中：
- $\mu_N$ 为核磁子；
- $g_I$ 为核 $g$ 因子。
因此，在已知 $I$ 的前提下，测量核磁矩本质上就是测量 $g_I$。
二、塞曼分裂与共振条件
把样品放入匀强磁场 $B$ 中时，核磁矩与磁场相互作用，使不同取向对应不同能量：
$$ E = -g_I \mu_N m_I B $$相邻磁子能级之间的间隔为
$$ \Delta E = g_I \mu_N B $$若再施加一个与静磁场垂直的高频交变磁场，当频率 $\nu$ 满足
$$ h\nu = \Delta E $$时，就会发生核磁共振吸收。于是
$$ g_I = \frac{h\nu}{\mu_N B} $$只要测得共振频率 $\nu$ 与磁场 $B$，即可求得 $g_I$ 以及相应磁矩。
三、NMR 实验电路原理
讲义中的核磁共振装置本质上是一个平衡双臂电路：
- 30 MHz 振荡器输出高频信号，并分成两路；
- 两个支路结构尽量保持相同；
- 一路放置样品，并由高频线圈在样品附近产生垂直于静磁场 $B$ 的射频场；
- 另一路设置 delay circuit，使相位延迟 $180^\circ$。
未发生共振时，两路信号在汇合点几乎相互抵消，因此输出接近于零。
一旦发生共振，样品支路吸收高频能量，幅度减弱，于是两路无法完全抵消，电路出现净输出信号，并在示波器上显示出吸收峰。
此外，系统还引入 30 Hz 低频振荡器：
- 一方面给附加线圈供电，使磁场在共振值附近周期扫描；
- 另一方面同时作为示波器扫描电压；
从而实现稳定显示共振曲线。
四、磁矩符号
核磁矩既可能为正，也可能为负：
- 磁矩为正：磁矩方向与自旋方向同向；
- 磁矩为负：磁矩方向与自旋方向反向。
1.4 电四极矩（Electric Quadrupole Moment）
一、为什么要引入电四极矩
原子核虽然可以近似看作球形，但实验表明，很多原子核实际上只是近似球形，更准确地说是略微偏离球对称的轴对称椭球体。
为了描述这种形状偏离，就需要引入电四极矩。
二、电四极矩定义
原子核的电四极矩定义为
$$ Q = \frac{1}{e}\int \rho(3z'^2-r'^2)\,d\tau $$其中 $\rho$ 为电荷密度。
该量的量纲是面积，因此它本质上表征电荷分布相对于球对称的偏离程度。
三、与形变参数的关系
若用形变参数 $\epsilon$ 表示原子核偏离球形的程度，则有近似关系：
$$ Q \approx \frac{6}{5} Z r_0^2 A^{2/3}\epsilon $$这说明通过测量四极矩，可以反推出核形变的大小。
实验表明，多数原子核的 $|Q|$ 虽然非零，但通常仍只占较小比例，因此大多数核的形状只是轻微偏离球形。
四、四极矩正负号的几何意义
- 当 $Q>0$ 时，通常对应长椭球（prolate），即沿对称轴方向被拉长；
- 当 $Q<0$ 时，通常对应扁椭球（oblate），即沿对称轴方向被压扁。
实验上两种情形都存在，但多数原子核的四极矩为正，因此更常见的是长椭球形核。
五、四极矩的测量方法
四极矩可通过多种方式测定：
- 分析原子超精细结构中原有间距规律的偏离；
- 利用四极共振吸收进行测量；
- 通过核自身能级跃迁直接测定，而不依赖核外电子。
六、更深层的物理意义
电四极矩的重要意义不止于“核不是球形”，更重要的是它揭示了原子核可能存在集体形变与集体运动。
在更高能区，例如重离子碰撞和夸克胶子等离子体（QGP）的各向异性分析中，也能看到与几何形变相关的物理效应。
1.5 宇称（Parity）
一、宇称的定义
宇称描述的是波函数在空间反演下的对称性。
对空间反演算符 $\hat{P}$ 而言，其本征值只有两种：
若
$$ \psi(-\mathbf{r}) = +\psi(\mathbf{r}) $$则称为偶宇称；若
$$ \psi(-\mathbf{r}) = -\psi(\mathbf{r}) $$则称为奇宇称。
宇称是典型的微观量子概念，在经典物理中没有直接对应物。
二、宇称守恒条件
如果系统的哈密顿量在空间反演下不变，即满足
$$ [\hat{P},\hat{H}] = 0 $$则宇称是一个好量子数，不会随时间演化而改变。
这就是宇称守恒定律。
三、原子核宇称的计算
在独立粒子近似下，原子核总宇称可近似视为所有单粒子轨道宇称的乘积：
$$ \pi_N = \prod_{i=1}^{A}(-1)^{l_i} $$其中 $l_i$ 为第 $i$ 个核子的轨道角动量量子数。
因此单粒子轨道的宇称满足
即：
- 偶数 $l$ 对应正宇称；
- 奇数 $l$ 对应负宇称。
四、宇称的意义与历史影响
宇称是研究核结构的重要量，因为核态在发生跃迁时，其宇称变化与跃迁选择定则密切相关。
同时，宇称概念在现代物理史上具有重大意义。长期以来人们曾认为宇称在所有相互作用中都守恒。
1956 年，李政道与杨振宁提出：弱相互作用中宇称可能不守恒。
随后吴健雄通过著名的钴-60 $\beta$ 衰变实验加以证实，彻底改变了人们对基本相互作用对称性的认识。
1.6 统计性质（Statistical Properties）
一、费米子与玻色子
按自旋分类：
- 半整数自旋粒子是费米子，服从费米—狄拉克统计；
- 整数自旋粒子是玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计。
二、交换对称性
对于两个或多个全同费米子，总波函数必须满足交换反对称性：
$$ \Psi(\cdots,i,\cdots,j,\cdots)
-\Psi(\cdots,j,\cdots,i,\cdots) $$
对于全同玻色子，总波函数满足交换对称性：
$$ \Psi(\cdots,i,\cdots,j,\cdots)
\Psi(\cdots,j,\cdots,i,\cdots) $$
这正是泡利不相容原理和玻色聚集效应的根本来源。
三、原子核整体的统计性质
原子核整体也具有费米子或玻色子的属性：
- 奇质量数核自旋为半整数，因此是费米子；
- 偶质量数核自旋为整数，因此是玻色子。
更一般地：
- 奇数个费米子组成的复合粒子是费米子；
- 偶数个费米子组成的复合粒子是玻色子；
- 多个玻色子组成的体系仍是玻色子。
四、统计性质对核模型的意义
统计性质在核组成理论的发展中起到了关键作用。
例如 ${}^{14}\mathrm{N}$ 的光谱性质与旧的“核内由质子和电子组成”的理论不符，却与“质子—中子模型”一致。
这说明统计性质不是附加修正，而是构建多体量子体系的基本原则。
五、${}^{4}\mathrm{He}$ 的例子
在早期理论中，玻尔和克拉默斯试图求解双电子的 ${}^{4}\mathrm{He}$ 基态，虽然考虑了核—电子和电子—电子相互作用，但仍得不到正确结果。
其根本原因在于他们将两个电子的波函数写成简单乘积，没有满足电子作为费米子所必须服从的总波函数反对称性。
加入统计性质后，Heisenberg 才能正确描述 ${}^{4}\mathrm{He}$ 基态。
这说明在多体系统中，统计性质是最基本的构造原则之一。
1.7 同位旋（Isospin）
一、同位旋概念的出发点
实验表明，在强相互作用意义下：
- 质子—质子核力；
- 中子—中子核力；
- 质子—中子核力；
近似相同。
再结合质子和中子质量接近、都具有自旋 $1/2$ 的事实，人们可以把它们看作同一种粒子的两种不同“内部状态”。
二、同位旋量子数
为描述这种内部对称性，引入同位旋概念。
单个核子的同位旋量子数取为
并约定第三分量为：
$$ t_3 = +\frac{1}{2} \quad \text{对应质子} $$$$ t_3 = -\frac{1}{2} \quad \text{对应中子} $$它的数学形式与普通自旋非常相似，但它并不是实际空间中的角动量，而是内部对称性的量子数。
三、同位旋多重态
对于具有相同核子数 $A$、相同自旋宇称、相同总同位旋 $T$ 的核态，只要它们的 $T_3$ 不同，就构成一个同位旋多重态。
典型例子包括：
- ${}^{14}\mathrm{C}$、${}^{14}\mathrm{N}$、${}^{14}\mathrm{O}$ 构成三重态；
- ${}^{21}\mathrm{Ne}$、${}^{21}\mathrm{Na}$ 构成二重态。
四、轻核与重核中的同位旋
在轻核中，库仑相互作用较弱，因此同位旋通常是一个较好的量子数。
在重核中，由于库仑作用增强，同位旋对称性受到更明显破坏，但实验上仍可观察到同位旋相似态（isospin similarity states）。
例如，某些重核的基态与相邻核的高激发态可能属于同一同位旋多重态成员。
本章必须掌握的核心公式
$$ Q = Ze $$$$ 1\,\mathrm{u} = \frac{m({}^{12}\mathrm{C}\text{ atom})}{12} $$$$ M = \frac{qB^2R^2}{2V} $$$$ R = r_0 A^{1/3} $$$$ \rho(r) = \frac{\rho_0}{1 + \exp\!\left(\frac{r-R_{1/2}}{a}\right)} $$$$ t \approx 4.4a $$$$ |\mathbf{I}| = \sqrt{I(I+1)}\,\hbar $$$$ \mathbf{F}=\mathbf{I}+\mathbf{j}, \qquad F=I+j,\dots,|I-j| $$$$ \Delta E_1:\Delta E_2:\cdots=(I+j):(I+j-1):\cdots $$$$ E=-g_I\mu_N m_I B, \qquad h\nu=g_I\mu_N B $$$$ Q = \frac{1}{e}\int \rho(3z'^2-r'^2)\,d\tau $$$$ Q \approx \frac{6}{5} Zr_0^2A^{2/3}\epsilon $$$$ \pi_N = \prod_i(-1)^{l_i} $$$$ \Psi_F(1,2)=-\Psi_F(2,1), \qquad \Psi_B(1,2)=\Psi_B(2,1) $$$$ t=\frac{1}{2}, \qquad t_3(p)=+\frac{1}{2}, \qquad t_3(n)=-\frac{1}{2} $$本章小结
本章从实验事实出发，系统介绍了原子核最基本的整体性质。
其中：
- 电荷、质量、半径决定核的基本尺度；
- 自旋、磁矩、电四极矩反映核内部运动与形状结构；
- 宇称、统计性质、同位旋则体现核态的对称性特征。
这些内容共同构成核物理的基础框架，也是理解后续核模型、衰变机制和核反应理论的前提。